山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{2-n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简底数
将底数 $\frac{n}{n-1}$ 改写为 $1 + \frac{1}{n-1}$，即：
$$\left(\frac{n}{n-1}\right)^{2-n} = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{2-n}$$
公式：$$\frac{n}{n-1} = 1 + \frac{1}{n-1}$$
提示：注意当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n-1} \to 0$，这是凑重要极限的基础。
步骤 2/5
目标：处理指数形式
将指数 $2-n$ 写成 $-(n-2)$，得到：
$$\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{2-n} = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{-(n-2)}$$
公式：$$2-n = -(n-2)$$
提示：指数变换时注意符号，不要遗漏负号。
步骤 3/5
目标：变量替换凑重要极限
令 $m = n-1$，则当 $n \to \infty$ 时，$m \to \infty$，且 $n-2 = m-1$，原式化为：
$$\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-(m-1)} = \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m} \cdot \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{1}$$
公式：$$\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-(m-1)} = \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m} \cdot \left(1 + \frac{1}{m}\right)$$
提示：注意指数分配：$-(m-1) = -m + 1$，因此拆成两个因式的乘积。
步骤 4/5
目标：分别求极限
利用重要极限 $\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$，有：
$$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m} = \left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m\right]^{-1} = e^{-1}$$
而 $\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right) = 1$，因此原极限为 $e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$。
公式：$$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$$
提示：注意负指数对应取倒数，不要混淆 $e$ 和 $e^{-1}$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，原极限的值为：
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n-1}\right)^{2-n} = \frac{1}{e}$$
公式：$$\frac{1}{e}$$
提示：最终结果是一个常数，与 $n$ 无关。
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