山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2． $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \sin x d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定积分并选择分部积分法
设 $I = \int e^{-x} \sin x \, dx$，采用分部积分法。令 $u = \sin x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = \cos x \, dx$，$v = -e^{-x}$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意分部积分公式中符号的处理，$v$ 的符号要准确。
步骤 2/5
目标：第一次分部积分
代入公式得：$I = -\sin x \, e^{-x} - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$。
公式：$I = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$
提示：注意负号不要遗漏，$\int v \, du$ 中的 $v$ 是 $-e^{-x}$。
步骤 3/5
目标：第二次分部积分
对 $\int e^{-x} \cos x \, dx$ 再次分部积分。令 $u = \cos x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = -\sin x \, dx$，$v = -e^{-x}$。代入得：$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \cos x - I$。
公式：$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - I$
提示：注意符号：$\int v \, du$ 中 $v = -e^{-x}$，$du = -\sin x \, dx$，乘积为 $e^{-x} \sin x \, dx$，前面有负号。
步骤 4/5
目标：建立方程求解 I
将第二次结果代入第一次表达式：$I = -e^{-x} \sin x + (-e^{-x} \cos x - I) = -e^{-x}(\sin x + \cos x) - I$。移项得 $2I = -e^{-x}(\sin x + \cos x)$，所以 $I = -\frac{1}{2} e^{-x}(\sin x + \cos x)$。
公式：$I = -\frac{1}{2} e^{-x}(\sin x + \cos x)$
提示：移项时注意 $I$ 的系数，不要忘记除以2。
步骤 5/5
目标：代入上下限计算定积分
定积分为 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \sin x \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{2} e^{-x}(\sin x + \cos x) \right]_0^b$。当 $x \to +\infty$，$e^{-x} \to 0$，且 $\sin x + \cos x$ 有界，故上限值为0。下限 $x=0$ 时：$-\frac{1}{2} e^0 (\sin 0 + \cos 0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$。积分值 = 上限减下限 = $0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-x} \sin x \, dx = \frac{1}{2}$
提示：注意定积分计算是上限值减下限值，不要弄反。
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