山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原级数拆分为两个简单级数之和
将分子拆开：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
提示：拆分时注意系数2不要遗漏，减号连接两个级数。
步骤 2/4
目标：计算几何级数部分的和
第二个级数是公比为 \frac{1}{2} 的几何级数：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}, \quad |x|<1
提示：注意几何级数求和公式中首项为x，当n从1开始时。
步骤 3/4
目标：利用幂级数求导公式计算 \sum n/2^n
已知当 |x|<1 时，
\[
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}
\]
两边对x求导：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}
\]
两边乘以x：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}
\]
令 x = \frac{1}{2}，得：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x|<1
提示：求导时注意n从1开始，且不要忘记乘以x的步骤。
步骤 4/4
目标：代回原式得到最终结果
将两个部分的结果代入：
\[
2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3
\]
公式：原级数 = 2 \times 2 - 1 = 3
提示：计算时注意运算顺序，先乘后减。
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