山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、求 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(-\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{x \sin y}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型
分析极限形式：当 $x \to -\infty$，$y \to +\infty$ 时，$xy \to -\infty$，故 $\frac{1}{xy} \to 0$，底数 $1+\frac{1}{xy} \to 1$；指数 $x\sin y$ 中，$\sin y$ 在 $[-1,1]$ 振荡，$x \to -\infty$，因此指数可能趋于 $\pm\infty$，属于 $1^\infty$ 型不定式。
公式：\lim_{(x,y)\to(-\infty,+\infty)} \left(1+\frac{1}{xy}\right)^{x\sin y}
提示：注意 $x$ 和 $y$ 趋于不同的无穷方向，乘积 $xy$ 趋于负无穷，不能直接代入。
步骤 2/5
目标：取对数转化为等价形式
设 $L = \lim_{(x,y)\to(-\infty,+\infty)} \left(1+\frac{1}{xy}\right)^{x\sin y}$，取自然对数得：
\[
\ln L = \lim_{(x,y)\to(-\infty,+\infty)} x\sin y \cdot \ln\left(1+\frac{1}{xy}\right)
\]
公式：\ln L = \lim x\sin y \cdot \ln\left(1+\frac{1}{xy}\right)
提示：取对数后极限仍为 $1^\infty$ 型，需进一步化简。
步骤 3/5
目标：使用等价无穷小替换
当 $t \to 0$ 时，$\ln(1+t) \sim t$。这里 $t = \frac{1}{xy} \to 0$，故
\[
\ln\left(1+\frac{1}{xy}\right) \sim \frac{1}{xy}
\]
代入得：
\[
x\sin y \cdot \ln\left(1+\frac{1}{xy}\right) \sim x\sin y \cdot \frac{1}{xy} = \frac{\sin y}{y}
\]
公式：\ln(1+t) \sim t \quad (t\to 0)
提示：等价无穷小替换需确保 $\frac{1}{xy} \to 0$，此处成立。注意 $x$ 与 $y$ 的符号不影响替换。
步骤 4/5
目标：求简化后的极限
问题转化为求 $\lim_{y \to +\infty} \frac{\sin y}{y}$。由于 $|\sin y| \le 1$，有
\[
\left|\frac{\sin y}{y}\right| \le \frac{1}{y} \to 0 \quad (y \to +\infty)
\]
由夹逼定理得极限为 $0$。
公式：\lim_{y\to+\infty} \frac{\sin y}{y} = 0
提示：这里 $x$ 被消去，极限仅依赖于 $y$，且 $\sin y$ 的有界性保证极限为 $0$。
步骤 5/5
目标：回代得到原极限
由 $\ln L = 0$，得 $L = e^0 = 1$。因此原极限为 $1$。
公式：L = e^{\ln L} = e^0 = 1
提示：注意等价无穷小替换在极限过程中是合理的，且未出现分母为零等异常情况。
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