山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、 $f(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{-x y} d y$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分变量与参数
函数定义为 $f(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{-x y} \, dy$，其中积分变量为 $y$，参数 $x$ 出现在积分限和被积函数中。对 $y$ 积分时，将 $x$ 视为常数。
公式：$f(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{-x y} \, dy$
提示：注意区分积分变量和参数，避免混淆。
步骤 2/5
目标：求被积函数关于 y 的原函数
对于 $\int e^{-x y} \, dy$，视 $x$ 为常数，利用指数函数积分公式：$\int e^{ay} \, dy = \frac{1}{a} e^{ay} + C$。这里 $a = -x$，因此原函数为 $-\frac{1}{x} e^{-x y} + C$，前提是 $x \neq 0$。
公式：$\int e^{-x y} \, dy = -\frac{1}{x} e^{-x y} + C$
提示：注意系数 $\frac{1}{x}$ 中的 $x$ 在分母，需考虑 $x=0$ 的特殊情况。
步骤 3/5
目标：代入积分上下限计算定积分
根据牛顿-莱布尼茨公式：$f(x) = \left[-\frac{1}{x} e^{-x y}\right]_{y=x}^{y=x^{2}} = -\frac{1}{x} e^{-x \cdot x^{2}} - \left(-\frac{1}{x} e^{-x \cdot x}\right) = -\frac{1}{x} e^{-x^{3}} + \frac{1}{x} e^{-x^{2}}$。
公式：$f(x) = \frac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x}$
提示：代入时注意符号：上限减下限，且 $e^{-x \cdot x^{2}} = e^{-x^{3}}$，$e^{-x \cdot x} = e^{-x^{2}}$。
步骤 4/5
目标：讨论 x=0 的特殊情况
当 $x=0$ 时，原积分变为 $f(0)=\int_{0}^{0} e^{0} \, dy = 0$。而表达式 $\frac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x}$ 在 $x=0$ 处为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，需用极限验证连续性：$\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-x^{2}+\cdots) - (1-x^{3}+\cdots)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{-x^{2}+x^{3}}{x} = \lim_{x\to 0} (-x + x^{2}) = 0$，与直接计算一致。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x} = 0$
提示：也可用洛必达法则求极限，但注意 $x=0$ 时原积分直接为 0，无需复杂计算。
步骤 5/5
目标：给出最终分段表达式
综合以上，$f(x)$ 可写为分段函数：当 $x \neq 0$ 时，$f(x)=\frac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x}$；当 $x=0$ 时，$f(0)=0$。也可统一表示为 $f(x)=\frac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x}$（$x \neq 0$）并补充定义 $f(0)=0$。
公式：$f(x)=\begin{cases} \dfrac{e^{-x^{2}} - e^{-x^{3}}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$
提示：分段形式完整，注意 $x=0$ 处函数值需单独定义。
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