山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle x=0$ 处可导，且满足
$$
f(x)=2025 x^{2024}+4 x^{3} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}+x \int_{0}^{1} f(x) d x
$$
求 $\displaystyle f(x)$ 表达式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设未知常数简化方程
令 $A = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，$B = \int_0^1 f(x) \, dx$，则原方程化为 $f(x) = 2025 x^{2024} + 4 A x^3 + B x$。
公式：f(x) = 2025 x^{2024} + 4 A x^3 + B x
提示：注意极限和积分都是常数，可以设为未知数。
步骤 2/4
目标：利用可导条件求A与B的关系
由 $A = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，代入 $f(x)$ 得 $\frac{f(x)}{x} = 2025 x^{2023} + 4 A x^2 + B$。令 $x \to 0$，得 $A = B$。
公式：A = B
提示：极限计算时注意 $x^{2023}$ 和 $x^2$ 项趋于0。
步骤 3/4
目标：利用积分条件求B
将 $f(x) = 2025 x^{2024} + 4 B x^3 + B x$ 代入 $B = \int_0^1 f(x) \, dx$，得 $B = \int_0^1 (2025 x^{2024} + 4 B x^3 + B x) \, dx$。计算积分：$\int_0^1 2025 x^{2024} \, dx = 1$，$\int_0^1 4 B x^3 \, dx = B$，$\int_0^1 B x \, dx = \frac{B}{2}$。于是 $B = 1 + B + \frac{B}{2}$，解得 $B = -2$。
公式：B = 1 + B + \frac{B}{2} \Rightarrow B = -2
提示：积分计算要仔细，注意常数B的积分结果。
步骤 4/4
目标：代回得到f(x)表达式
由 $A = B = -2$，代入 $f(x) = 2025 x^{2024} + 4 A x^3 + B x$，得 $f(x) = 2025 x^{2024} - 8 x^3 - 2x$。
公式：f(x) = 2025 x^{2024} - 8 x^3 - 2x
提示：注意符号，$4A = 4 \times (-2) = -8$。
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