山西师范大学 2026年数学分析第0题

幂级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}$，其中 $a>0, b>0$。系数为 $c_n = \frac{1}{a^n + b^n}$。由于 $c_n > 0$，我们使用根值法（Cauchy-Hadamard 公式）求收敛半径：$R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}}$。

计算 $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n + b^n}$。不妨设 $a \ge b$，则 $a^n \le a^n + b^n \le 2a^n$。取 $n$ 次根得 $a \le \sqrt[n]{a^n + b^n} \le \sqrt[n]{2} \cdot a$。由夹逼定理，极限为 $a$。同理，若 $b > a$，极限为 $b$。因此 $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a^n + b^n} = \max(a, b)$。

由根值法，$\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a^n + b^n}} = \frac{1}{\max(a, b)}$。因此收敛半径 $R = \frac{1}{1/\max(a,b)} = \max(a, b)$。

考虑 $x = \max(a, b)$。不妨设 $a \ge b$，则 $R = a$。级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{a^n + b^n}$。由于 $b < a$ 时 $\frac{a^n}{a^n + b^n} = \frac{1}{1 + (b/a)^n} \to 1$（$n\to\infty$），通项不趋于0，级数发散。若 $a = b$，则级数为 $\frac12 \sum 1$，也发散。

考虑 $x = -\max(a, b)$。仍设 $a \ge b$，则 $x = -a$。级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-a)^n}{a^n + b^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{a^n}{a^n + b^n}$。由于 $\frac{a^n}{a^n + b^n} \to 1$（$n\to\infty$），通项的绝对值不趋于0，因此一般项不趋于0，级数发散。$a = b$ 时同理发散。

无论 $a$ 与 $b$ 是否相等，两个端点 $x = \pm \max(a, b)$ 处级数均发散。因此收敛域为开区间 $(-\max(a, b), \, \max(a, b))$。