山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x+\alpha} e^{-\alpha x} d x$ 对 $\displaystyle \alpha \in[0, b](b>0)$ 一致收敛．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确被积函数与参数范围
被积函数为 $f(x,\alpha) = \frac{\cos 2x}{x+\alpha} e^{-\alpha x}$，其中 $x \ge 0$，$\alpha \in [0, b]$，$b>0$。当 $\alpha=0$ 时，函数变为 $\frac{\cos 2x}{x}$，在无穷远处非绝对可积，需小心处理一致收敛性。
公式：f(x,\alpha) = \frac{\cos 2x}{x+\alpha} e^{-\alpha x}
提示：注意 $\alpha=0$ 时积分可能条件收敛，需用 Dirichlet 判别法处理。
步骤 2/5
目标：选择判别法并分解函数
考虑用 Dirichlet 判别法证明一致收敛。将 $f(x,\alpha)$ 分解为 $g(x,\alpha)h(x,\alpha)$ 的形式，令 $g(x,\alpha) = \cos 2x$，$h(x,\alpha) = \frac{e^{-\alpha x}}{x+\alpha}$。
公式：\int_0^{+\infty} \cos 2x \cdot \frac{e^{-\alpha x}}{x+\alpha} \, dx
提示：分解时需确保 $g$ 的积分一致有界，$h$ 单调且一致趋于零。
步骤 3/5
目标：验证条件一：$g$ 的积分一致有界
对任意 $X>0$，有 $\left|\int_0^X \cos 2x \, dx\right| = \left|\frac{\sin 2X}{2}\right| \le \frac{1}{2}$，该界与 $\alpha$ 和 $X$ 无关，因此一致有界条件成立。
公式：\left|\int_0^X \cos 2x \, dx\right| \le \frac{1}{2}
提示：注意 $\cos 2x$ 的积分有界性不依赖于参数 $\alpha$。
步骤 4/5
目标：验证条件二：$h$ 单调且一致趋于零
对固定的 $\alpha \ge 0$，$h(x,\alpha) = \frac{e^{-\alpha x}}{x+\alpha}$ 关于 $x$ 正且递减（分母递增，分子指数衰减或不变）。当 $x \to +\infty$ 时，$0 \le h(x,\alpha) \le \frac{1}{x} \to 0$，该趋于零的速度对 $\alpha \in [0,b]$ 一致成立。
公式：0 \le \frac{e^{-\alpha x}}{x+\alpha} \le \frac{1}{x}
提示：利用 $e^{-\alpha x} \le 1$ 得到上界 $1/x$，确保一致趋于零。
步骤 5/5
目标：应用 Dirichlet 判别法得出结论
由 Dirichlet 判别法，因 $\int_0^X \cos 2x \, dx$ 一致有界，且 $h(x,\alpha)$ 对每个 $\alpha$ 关于 $x$ 单调递减并当 $x\to+\infty$ 时关于 $\alpha$ 一致趋于零，故积分 $\int_0^{+\infty} \cos 2x \cdot \frac{e^{-\alpha x}}{x+\alpha} \, dx$ 关于 $\alpha \in [0,b]$ 一致收敛。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\cos 2x}{x+\alpha} e^{-\alpha x} \, dx \text{ 在 } \alpha \in [0,b] \text{ 上一致收敛}
提示：Dirichlet 判别法要求两个条件同时满足，缺一不可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。