山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）计算曲面积分
$$
I=\iint_{s^{+}}(x+y-z) d y d z+[2 y+\sin (z+x)] d z d x+\left(3 z+e^{x+y}\right) d x d y
$$
$\displaystyle S^{+}$为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 外表面．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别曲面类型与方向，写出被积表达式
曲面方程为 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$，取外表面，故为封闭曲面。被积表达式为 $P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$，其中 $P=x+y-z$，$Q=2y+\sin(z+x)$，$R=3z+e^{x+y}$。
公式：第二类曲面积分形式：$\iint_{S^+} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$
提示：注意曲面是封闭的，且方向为外侧，这是应用高斯公式的前提。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式转化为三重积分
由高斯公式：$\iint_{S^+} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=1$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=2$，$\frac{\partial R}{\partial z}=3$，散度为 $1+2+3=6$。故 $I = \iiint_V 6\,dV = 6 \cdot \text{Vol}(V)$。
公式：高斯公式：$\iint_{S^+} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$
提示：散度为常数，积分简化为求体积，避免直接计算复杂的曲面积分。
步骤 3/6
目标：变量代换简化曲面方程
令 $u = x - y + z$，$v = y - z + x = x + y - z$，$w = z - x + y = -x + y + z$，则曲面方程化为 $|u|+|v|+|w|=1$，这是一个标准正八面体表面。
公式：变换关系：$\begin{cases} u = x - y + z \\ v = x + y - z \\ w = -x + y + z \end{cases}$
提示：代换后方程对称性明显，便于计算体积。注意检查变换的线性性质。
步骤 4/6
目标：计算变换的雅可比行列式
变换矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，计算行列式：$\det = 1\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot1) - (-1)\cdot(1\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) + 1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) = 2 + 0 + 2 = 4$。故雅可比绝对值 $|\det|=4$，体积元 $dx\,dy\,dz = \frac{1}{4}\,du\,dv\,dw$。
公式：雅可比行列式：$\left|\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right| = 4$，$dV_{xyz} = \frac{1}{4} dV_{uvw}$
提示：雅可比行列式不为零，变换是可逆的；注意取绝对值。
步骤 5/6
目标：计算原空间区域体积
在 $uvw$ 空间中，区域为 $|u|+|v|+|w| \leq 1$，这是边长为 $\sqrt{2}$ 的正八面体，其体积公式为 $\frac{4}{3}a^3$（$a$ 为截距），这里 $a=1$，故 $\text{Vol}_{uvw} = \frac{4}{3}$。因此原空间体积 $\text{Vol}(V) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$。
公式：正八面体体积：$\text{Vol}(|u|+|v|+|w| \leq a) = \frac{4}{3}a^3$
提示：注意体积变换时乘以雅可比绝对值的倒数；正八面体体积公式可直接使用。
步骤 6/6
目标：得出曲面积分结果
由高斯公式 $I = 6 \cdot \text{Vol}(V) = 6 \times \frac{1}{3} = 2$。
公式：$I = 6 \times \frac{1}{3} = 2$
提示：最终结果为常数，与曲面具体形状无关，仅依赖于散度和体积。
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