山西师范大学 2026年数学分析第0题

令中点 $c = \frac{a+b}{2}$。对任意 $x \in [a,b]$，将 $f(x)$ 在 $x=c$ 处展开到一阶，余项用二阶导数表示： $$f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{1}{2} f''(\eta_x)(x-c)^2,$$ 其中 $\eta_x$ 介于 $c$ 与 $x$ 之间。

对 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 积分： $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(c)\,dx + f'(c)\int_a^b (x-c)\,dx + \frac12 \int_a^b f''(\eta_x)(x-c)^2\,dx.$$ 第一项：$\int_a^b f(c)\,dx = f(c)(b-a)$。第二项：由于 $x-c$ 关于中点对称，积分区间对称，故 $\int_a^b (x-c)\,dx = 0$。于是得到： $$\int_a^b f(x)\,dx = (b-a)f(c) + \frac12 \int_a^b f''(\eta_x)(x-c)^2\,dx.$$

由于 $(x-c)^2$ 在区间上非负且连续，而 $f''(\eta_x)$ 依赖于 $x$，但由 $f$ 二阶可导，$f''$ 具有介值性。根据推广的积分第一中值定理（权重函数不变号），存在 $\xi \in (a,b)$ 使得： $$\int_a^b f''(\eta_x)(x-c)^2\,dx = f''(\xi) \int_a^b (x-c)^2\,dx.$$

计算 $\int_a^b (x-c)^2\,dx$。令 $t = x-c$，则当 $x=a$ 时 $t = -\frac{b-a}{2}$，当 $x=b$ 时 $t = \frac{b-a}{2}$，于是： $$\int_a^b (x-c)^2\,dx = \int_{-\frac{b-a}{2}}^{\frac{b-a}{2}} t^2\,dt = 2\int_0^{\frac{b-a}{2}} t^2\,dt = 2\cdot \frac{1}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3 = \frac{(b-a)^3}{12}.$$

将第四步的结果代入第三步的等式，再代入第二步的表达式： $$\int_a^b f(x)\,dx = (b-a)f(c) + \frac12 \cdot f''(\xi) \cdot \frac{(b-a)^3}{12} = (b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{24} f''(\xi)(b-a)^3.$$ 这就证明了存在 $\xi \in (a,b)$ 使得等式成立。