山西师范大学 2026年数学分析第0题

函数在原点连续要求极限等于函数值0。由于函数只依赖于$r=\sqrt{x^2+y^2}$，令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则当$r>0$时，$f(x,y)=r^{2\alpha}\sin\frac{1}{r^2}$。考虑$r\to 0$时的极限：若$2\alpha>0$即$\alpha>0$，则$r^{2\alpha}\to 0$，而$\left|\sin\frac{1}{r^2}\right|\le 1$，故极限为0，连续；若$\alpha=0$，则$f(x,y)=\sin\frac{1}{r^2}$，极限不存在；若$\alpha<0$，则$r^{2\alpha}\to+\infty$，振幅无限大，极限不存在。

由第一步分析，函数在原点连续当且仅当$\alpha>0$；当$\alpha\le 0$时，函数在原点不连续。

可微性首先要求函数连续，故只需考虑$\alpha>0$。用定义求$f_x(0,0)$：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(h^2)^\alpha\sin(1/h^2)}{h}=\lim_{h\to 0}|h|^{2\alpha-1}\cdot\operatorname{sgn}(h)\cdot\sin(1/h^2)$。若$2\alpha-1>0$即$\alpha>\frac12$，则$|h|^{2\alpha-1}\to 0$，极限为0，偏导存在；若$\alpha=\frac12$，极限为$\operatorname{sgn}(h)\sin(1/h^2)$不存在；若$0<\alpha<\frac12$，则$|h|^{2\alpha-1}\to\infty$，极限不存在。由对称性，$f_y(0,0)$情况相同。

当$\alpha>\frac12$时，偏导存在且均为0。可微性要求$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。代入得$\lim_{r\to 0}\frac{r^{2\alpha}\sin(1/r^2)}{r}=\lim_{r\to 0}r^{2\alpha-1}\sin(1/r^2)$。若$2\alpha-1>0$即$\alpha>\frac12$，则极限为0，可微；若$\alpha=\frac12$，极限为$\sin(1/r^2)$不存在；若$\alpha<\frac12$，偏导已不存在，不可微。

函数$f(x,y)$在原点：连续当且仅当$\alpha>0$；可微当且仅当$\alpha>\frac12$。特别地，当$0<\alpha\le\frac12$时，函数连续但不可微。