山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六、（10 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递增，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件与目标
已知函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递增，且反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。由于单调递增，极限 $L = \lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在（可以是有限数或 $+\infty$）。
公式：$L = \lim_{x\to+\infty} f(x)$
提示：单调递增函数在无穷远处的极限一定存在，这是证明的基础。
步骤 2/5
目标：反证法：假设极限大于0
假设 $L > 0$。则存在 $X > a$，使得当 $x \ge X$ 时，有 $f(x) \ge \frac{L}{2} > 0$。于是对任意 $t > X$，有 $\int_X^t f(x) \, dx \ge \frac{L}{2} (t - X)$。令 $t \to +\infty$，则 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \ge +\infty$，这与积分收敛矛盾。
公式：$\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \ge \frac{L}{2} \int_X^{+\infty} dx = +\infty$
提示：如果被积函数在无穷远处趋于正数，积分必然发散。
步骤 3/5
目标：反证法：假设极限小于0
假设 $L < 0$。则存在 $X > a$，使得当 $x \ge X$ 时，有 $f(x) \le \frac{L}{2} < 0$。于是 $\int_X^t f(x) \, dx \le \frac{L}{2} (t - X)$。令 $t \to +\infty$，则 $\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \le -\infty$，同样与积分收敛矛盾。
公式：$\int_X^{+\infty} f(x) \, dx \le \frac{L}{2} \int_X^{+\infty} dx = -\infty$
提示：注意负数积分发散到负无穷，也违反收敛性。
步骤 4/5
目标：排除极限为无穷大的情况
由于 $f(x)$ 单调递增，若极限为 $+\infty$，则存在 $X$ 使得当 $x \ge X$ 时 $f(x) \ge 1$，积分发散，与收敛矛盾。若极限为 $-\infty$，则单调递增函数不可能趋向负无穷（因为递增意味着函数值只会增大），故不可能。
公式：无
提示：单调递增函数的极限不能是负无穷，因为函数值只会越来越大。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上，极限 $L$ 既不能大于0，也不能小于0，也不能为无穷大，因此必有 $L = 0$。即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$
提示：唯一可能的结果就是0。
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