山西师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界数列，记
$$
\bar{a}_{n}=\sup \left\{a_{n}, a_{n+1} \cdots\right\}, \underline{a_{n}}=\inf \left\{a_{n}, a_{n+1} \cdots\right\} .
$$
证明：$\displaystyle \left\{\overline{a_{n}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\underline{a_{n}}\right\}$ 都收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \bar{a}_{n} \geq \lim _{n \rightarrow \infty} \underline{a_{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解定义并说明数列有界性
已知数列 $\{a_n\}$ 有界，即存在常数 $M>0$，使得对所有 $n$，有 $|a_n|\le M$。定义 $\bar{a}_n = \sup\{a_n, a_{n+1}, a_{n+2},\dots\}$，$\underline{a}_n = \inf\{a_n, a_{n+1}, a_{n+2},\dots\}$。显然，对每个 $n$，有 $\underline{a}_n \le \bar{a}_n$。
公式：$\bar{a}_n = \sup\{a_k: k\ge n\}$，$\underline{a}_n = \inf\{a_k: k\ge n\}$
提示：注意上确界和下确界的定义依赖于尾部集合，与数列的单调性无关。
步骤 2/4
目标：证明 $\{\bar{a}_n\}$ 单调递减且有下界
对于任意 $n$，集合 $\{a_n, a_{n+1}, a_{n+2},\dots\}$ 包含集合 $\{a_{n+1}, a_{n+2},\dots\}$，因此前者的上确界不小于后者的上确界，即 $\bar{a}_n \ge \bar{a}_{n+1}$，故 $\{\bar{a}_n\}$ 单调递减。又因为 $\{a_n\}$ 有界，所以 $\bar{a}_n \ge \inf a_n$，即它有下界。由单调有界定理，$\{\bar{a}_n\}$ 收敛。
公式：$\bar{a}_n \ge \bar{a}_{n+1}$，$\bar{a}_n \ge \inf\{a_n\}$
提示：单调递减数列有下界则收敛，这里下界可取 $\inf a_n$ 或更小的常数。
步骤 3/4
目标：证明 $\{\underline{a}_n\}$ 单调递增且有上界
类似地，对于任意 $n$，集合 $\{a_n, a_{n+1},\dots\}$ 包含 $\{a_{n+1}, a_{n+2},\dots\}$，因此前者的下确界不大于后者的下确界，即 $\underline{a}_n \le \underline{a}_{n+1}$，故 $\{\underline{a}_n\}$ 单调递增。又因为有界性，$\underline{a}_n \le \sup a_n$，即它有上界。由单调有界定理，$\{\underline{a}_n\}$ 收敛。
公式：$\underline{a}_n \le \underline{a}_{n+1}$，$\underline{a}_n \le \sup\{a_n\}$
提示：单调递增数列有上界则收敛，这里上界可取 $\sup a_n$。
步骤 4/4
目标：证明极限的大小关系
对每个 $n$，有 $\underline{a}_n \le \bar{a}_n$。由于两个数列均收敛，对不等式取极限，由极限的保序性可得：$\lim_{n\to\infty} \underline{a}_n \le \lim_{n\to\infty} \bar{a}_n$，即 $\lim_{n\to\infty} \bar{a}_n \ge \lim_{n\to\infty} \underline{a}_n$。等号可以成立，例如常数列时。
公式：$\lim_{n\to\infty} \bar{a}_n \ge \lim_{n\to\infty} \underline{a}_n$
提示：极限保序性要求不等式在每一项成立且极限存在，注意方向不要弄反。
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