广西民族大学 2008年数学分析第0题
📝 题目
一、（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：取自然对数，将幂指型极限转化为求极限问题
设 $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n} \right)^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n} \right)$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{kx} \right)$
提示：注意这是 $1^\infty$ 型未定式，取对数是标准处理方法。
步骤 2/7
目标：对分子中的指数项进行泰勒展开，并求和
当 $x \to 0$ 时，$e^{kx} = 1 + kx + \frac{k^2 x^2}{2} + O(x^3)$。求和得：
$$\sum_{k=1}^{n} e^{kx} = \sum_{k=1}^{n} \left(1 + kx + \frac{k^2 x^2}{2} + O(x^3)\right) = n + \frac{n(n+1)}{2} x + \frac{n(n+1)(2n+1)}{12} x^2 + O(x^3).$$
公式：$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
提示：注意展开到 $x^2$ 项，因为后面除以 $x$ 后 $x$ 的一次项会贡献常数。
步骤 3/7
目标：除以 $n$，得到内部表达式的展开式
$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{kx} = 1 + \frac{n+1}{2} x + \frac{(n+1)(2n+1)}{12} x^2 + O(x^3).$$
公式：$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{kx} = 1 + \frac{n+1}{2} x + \frac{(n+1)(2n+1)}{12} x^2 + O(x^3)$
提示：注意 $\frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$，$\frac{n(n+1)(2n+1)}{12n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{12}$。
步骤 4/7
目标：对内部表达式取对数，利用 $\ln(1+u)$ 的泰勒展开
令 $u = \frac{n+1}{2} x + \frac{(n+1)(2n+1)}{12} x^2 + O(x^3)$，则 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + O(u^3)$。代入得：
$$\ln\left(1+u\right) = \left( \frac{n+1}{2} x + \frac{(n+1)(2n+1)}{12} x^2 \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{n+1}{2} x \right)^2 + O(x^3).$$
公式：$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + O(u^3)$
提示：计算 $u^2$ 时只需保留到 $x^2$ 项，即 $u^2 = \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 x^2 + O(x^3)$。
步骤 5/7
目标：化简 $x^2$ 项的系数
计算平方项：$\frac{1}{2} \cdot \frac{(n+1)^2}{4} x^2 = \frac{(n+1)^2}{8} x^2$。于是 $x^2$ 系数为：
$$\frac{(n+1)(2n+1)}{12} - \frac{(n+1)^2}{8} = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{24} = \frac{(n+1)[2(2n+1) - 3(n+1)]}{24} = \frac{(n+1)(n-1)}{24} = \frac{n^2-1}{24}.$$
因此：
$$\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{kx} \right) = \frac{n+1}{2} x + \frac{n^2-1}{24} x^2 + O(x^3).$$
公式：$\frac{(n+1)(2n+1)}{12} - \frac{(n+1)^2}{8} = \frac{n^2-1}{24}$
提示：通分时注意分母取24，合并同类项时小心符号。
步骤 6/7
目标：除以 $x$ 并取极限，得到 $\ln L$
$$\frac{1}{x} \ln\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{kx} \right) = \frac{n+1}{2} + \frac{n^2-1}{24} x + O(x^2).$$
当 $x \to 0$ 时，极限为 $\frac{n+1}{2}$，即 $\ln L = \frac{n+1}{2}$。
公式：$\ln L = \frac{n+1}{2}$
提示：注意 $x$ 的一次项除以 $x$ 后成为常数项，$x^2$ 项除以 $x$ 后趋于0。
步骤 7/7
目标：还原 $L$，得到最终极限
由 $\ln L = \frac{n+1}{2}$ 得 $L = e^{\frac{n+1}{2}}$。
公式：$L = e^{\frac{n+1}{2}}$
提示：最终结果与 $n$ 有关，不要遗漏指数形式。
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