广西民族大学 2008年数学分析第0题
📝 题目
四、（20 分）已知 $\displaystyle f(0)=-\frac{1}{2}$ ，确定 $\displaystyle f(x)$ 使 $\displaystyle \int_{P_{1}}^{P_{2}}\left[e^{x}+f(x)\right] y d x-f(x) d y$ 与路径无关，并求当 $\displaystyle P_{1}$ 和 $\displaystyle P_{2}$ 分别为 $\displaystyle (0,0)$ 和 $\displaystyle (1,1)$ 时此积分的值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将曲线积分化为标准形式，并写出P和Q
将积分 $\int_{P_1}^{P_2} [e^x + f(x)] y \, dx - f(x) \, dy$ 写成 $\int P \, dx + Q \, dy$ 的形式，其中 $P(x,y) = [e^x + f(x)] y$，$Q(x,y) = -f(x)$。
公式：P(x,y) = [e^x + f(x)] y, \quad Q(x,y) = -f(x)
提示：注意 $dy$ 前面的系数是 $-f(x)$，不要漏掉负号。
步骤 2/6
目标：利用与路径无关的条件建立微分方程
曲线积分与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。计算得 $\frac{\partial P}{\partial y} = e^x + f(x)$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = -f'(x)$。令两者相等：$e^x + f(x) = -f'(x)$，整理得 $f'(x) + f(x) = -e^x$。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = e^x + f(x), \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -f'(x), \quad f'(x) + f(x) = -e^x
提示：注意偏导数的计算：$P$ 对 $y$ 求导时 $x$ 视为常数，$Q$ 对 $x$ 求导时 $y$ 视为常数。
步骤 3/6
目标：解一阶线性微分方程
方程 $f'(x) + f(x) = -e^x$ 是一阶线性微分方程。先解齐次方程 $f' + f = 0$，得通解 $f_h = C e^{-x}$。再设特解 $f_p = A e^x$，代入得 $A e^x + A e^x = 2A e^x = -e^x$，解得 $A = -\frac{1}{2}$。因此通解为 $f(x) = C e^{-x} - \frac{1}{2} e^x$。
公式：f(x) = C e^{-x} - \frac{1}{2} e^x
提示：特解形式的选择：因为非齐次项是 $-e^x$，而齐次解中已有 $e^{-x}$，故设 $A e^x$ 是合理的。
步骤 4/6
目标：利用初始条件确定常数
已知 $f(0) = -\frac{1}{2}$，代入通解：$C e^{0} - \frac{1}{2} e^{0} = C - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$，解得 $C = 0$。因此 $f(x) = -\frac{1}{2} e^x$。
公式：f(0) = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = 0, \quad f(x) = -\frac{1}{2} e^x
提示：代入时注意 $e^0 = 1$，计算要仔细。
步骤 5/6
目标：化简被积表达式并求原函数
将 $f(x) = -\frac{1}{2} e^x$ 代入原被积表达式：$[e^x - \frac{1}{2} e^x] y \, dx - (-\frac{1}{2} e^x) \, dy = \frac{1}{2} e^x y \, dx + \frac{1}{2} e^x \, dy = \frac{1}{2} (e^x y \, dx + e^x \, dy)$。注意到 $d(e^x y) = e^x y \, dx + e^x \, dy$，因此原被积表达式是 $\frac{1}{2} d(e^x y)$，原函数为 $\frac{1}{2} e^x y$。
公式：\frac{1}{2} e^x y \, dx + \frac{1}{2} e^x \, dy = \frac{1}{2} d(e^x y)
提示：验证全微分：$d(e^x y) = e^x y \, dx + e^x \, dy$，注意乘积的微分法则。
步骤 6/6
目标：计算从 (0,0) 到 (1,1) 的积分值
由于积分与路径无关，积分值等于原函数在终点与起点的差：$\frac{1}{2} e^x y \big|_{(0,0)}^{(1,1)} = \frac{1}{2} e^{1} \cdot 1 - \frac{1}{2} e^{0} \cdot 0 = \frac{e}{2}$。
公式：\int_{(0,0)}^{(1,1)} \frac{1}{2} d(e^x y) = \frac{1}{2} e^x y \Big|_{(0,0)}^{(1,1)} = \frac{e}{2}
提示：注意起点 $(0,0)$ 代入时 $e^0 \cdot 0 = 0$，不要误算。
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