广西民族大学 2008年数学分析第0题
📝 题目
二、（20 分）已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{x_{n}+1}, n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在极限，并求此极限。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简递推公式
给定递推公式 $x_{n+1} = 1 + \frac{x_n}{x_n+1}$，将其通分合并为 $x_{n+1} = \frac{x_n+1}{x_n+1} + \frac{x_n}{x_n+1} = \frac{2x_n+1}{x_n+1}$。
公式：x_{n+1} = \frac{2x_n+1}{x_n+1}
提示：化简后形式更简洁，便于后续分析单调性和有界性。
步骤 2/6
目标：计算前几项，猜测数列性质
计算：$x_1=1$，$x_2=1+\frac{1}{2}=1.5$，$x_3=1+\frac{1.5}{2.5}=1.6$，$x_4=1+\frac{1.6}{2.6}\approx1.61538$。观察到数列递增且增幅减小，猜测单调递增且有上界。
公式：x_2=1.5,\ x_3=1.6,\ x_4\approx1.61538
提示：数值实验有助于形成直观判断，但不能代替严格证明。
步骤 3/6
目标：证明数列单调递增
计算差值：$x_{n+1}-x_n = \frac{2x_n+1}{x_n+1} - x_n = \frac{2x_n+1 - x_n(x_n+1)}{x_n+1} = \frac{-x_n^2 + x_n + 1}{x_n+1}$。分子是二次函数 $-t^2+t+1$，其正根为 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。当 $x_n < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 时，分子为正，从而 $x_{n+1}>x_n$。
公式：x_{n+1}-x_n = \frac{-x_n^2 + x_n + 1}{x_n+1}
提示：注意分子符号取决于 $x_n$ 与黄金比例的大小关系，需结合有界性证明。
步骤 4/6
目标：用数学归纳法证明数列有上界
设 $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。当 $n=1$，$x_1=1<\varphi$。假设 $x_n<\varphi$，考虑函数 $f(t)=\frac{2t+1}{t+1}$，其导数 $f'(t)=\frac{1}{(t+1)^2}>0$，故 $f(t)$ 单调递增。于是 $x_{n+1}=f(x_n)
公式：f(\varphi)=\frac{2\varphi+1}{\varphi+1}=\varphi
提示：利用 $\varphi$ 满足的二次方程简化计算是关键。
步骤 5/6
目标：由单调有界定理得出极限存在
数列 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界 $\varphi$，根据单调有界定理，极限存在。设极限为 $L$。
公式：\lim_{n\to\infty} x_n = L
提示：单调有界定理是实数完备性的重要推论，确保极限存在。
步骤 6/6
目标：求解极限值
对递推式 $x_{n+1} = \frac{2x_n+1}{x_n+1}$ 两边取极限，得 $L = \frac{2L+1}{L+1}$。两边乘以 $L+1$：$L(L+1)=2L+1$，整理得 $L^2-L-1=0$。解得 $L=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。由于数列递增且 $x_1=1$，极限应大于1，故取正根 $L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
公式：L^2 - L - 1 = 0,\quad L = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
提示：舍去负根时需结合数列的初始值和单调性判断。
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