广西民族大学 2008年数学分析第0题
📝 题目
五、（20 分）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中间变量，明确函数复合结构
令 $u = x$，$v = \frac{x}{y}$，则 $z = f(u, v)$。其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 和 $y$ 的函数。
公式：$u = x$, $v = \frac{x}{y}$
提示：注意 $v$ 同时依赖于 $x$ 和 $y$，求偏导时需使用链式法则。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
对 $x$ 求偏导，$y$ 视为常数：
$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$。
由于 $\frac{\partial u}{\partial x}=1$，$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{y}$，所以 $\frac{\partial z}{\partial x} = f_u + \frac{1}{y} f_v$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u + \frac{1}{y} f_v$
提示：这里 $f_u$ 和 $f_v$ 仍是 $u$ 和 $v$ 的函数，后续求二阶导时需继续使用链式法则。
步骤 3/5
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$
对 $y$ 求偏导，$x$ 视为常数：
$\frac{\partial z}{\partial y} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$。
由于 $\frac{\partial u}{\partial y}=0$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$，所以 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} f_v$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} f_v$
提示：注意 $f_u$ 项消失，因为 $u$ 不依赖于 $y$。
步骤 4/5
目标：求二阶混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$（先对 $x$ 后对 $y$）
对 $\frac{\partial z}{\partial x} = f_u + \frac{1}{y} f_v$ 再对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(f_u) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} f_v\right)$。
第一项：$\frac{\partial}{\partial y}(f_u) = f_{uu} \cdot 0 + f_{uv} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2} f_{uv}$。
第二项用乘积法则：$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y} f_v\right) = -\frac{1}{y^2} f_v + \frac{1}{y} \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}$。
而 $\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 0 + f_{vv} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2} f_{vv}$。
代入得第二项为 $-\frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv}$。
合并两项得最终结果。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{x}{y^2} f_{uv} - \frac{1}{y^2} f_v - \frac{x}{y^3} f_{vv}$
提示：注意 $f_{uv} = f_{vu}$ 在二阶偏导连续时成立，此处统一使用 $f_{uv}$。不要遗漏乘积法则中的 $-\frac{1}{y^2}f_v$ 项。
步骤 5/5
目标：求二阶偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
对 $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} f_v$ 再对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{y^2} f_v\right) = -x \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(y^{-2} f_v\right)$。
使用乘积法则：$\frac{\partial}{\partial y}\left(y^{-2} f_v\right) = -2y^{-3} f_v + y^{-2} \frac{\partial f_v}{\partial y}$。
代入 $\frac{\partial f_v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} f_{vv}$，得：
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -x\left[-\frac{2}{y^3} f_v + \frac{1}{y^2}\left(-\frac{x}{y^2} f_{vv}\right)\right] = -x\left[-\frac{2}{y^3} f_v - \frac{x}{y^4} f_{vv}\right] = \frac{2x}{y^3} f_v + \frac{x^2}{y^4} f_{vv}$。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2x}{y^3} f_v + \frac{x^2}{y^4} f_{vv}$
提示：注意符号处理：负号与负号相乘得正，且 $f_v$ 项系数为 $\frac{2x}{y^3}$ 而非 $\frac{2x}{y^2}$。
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