广西民族大学 2008年数学分析第0题
📝 题目
八、（20分）设函数 $\displaystyle f(w)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty]$ 上连续，且满足如下方程求 $\displaystyle f(w)$
$$
f(w)=e^{4 \pi w^{2}}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4 w^{2}} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将二重积分化为极坐标形式
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$，$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。积分区域 $x^2 + y^2 \le 4w^2$ 对应 $0 \le r \le 2w$，$0 \le \theta \le 2\pi$。于是原积分化为：
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4 w^{2}} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2w} f\left( \frac{r}{2} \right) r\, dr = 2\pi \int_{0}^{2w} r\, f\left( \frac{r}{2} \right) dr
$$
公式：极坐标变换：$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$
提示：注意被积函数只依赖于半径，因此角度积分直接得到 $2\pi$。
步骤 2/6
目标：变量替换简化积分
令 $t = \frac{r}{2}$，则 $r = 2t$，$dr = 2\,dt$，当 $r=0$ 时 $t=0$，当 $r=2w$ 时 $t=w$。于是 $r\,dr = (2t)\cdot(2\,dt) = 4t\,dt$。代入得：
$$
2\pi \int_{0}^{2w} r f\left( \frac{r}{2} \right) dr = 2\pi \int_{0}^{w} 4t\, f(t)\, dt = 8\pi \int_{0}^{w} t f(t)\, dt
$$
因此原方程化为：
$$
f(w) = e^{4\pi w^2} + 8\pi \int_{0}^{w} t f(t)\, dt
$$
公式：$r\,dr = 4t\,dt$
提示：替换后注意积分上下限的变化，以及被积函数中 $f$ 的自变量要相应改变。
步骤 3/6
目标：转化为微分方程
对等式两边关于 $w$ 求导。左边导数为 $f'(w)$。右边第一项导数为 $\frac{d}{dw} e^{4\pi w^2} = 8\pi w e^{4\pi w^2}$。第二项由微积分基本定理得：
$$
\frac{d}{dw} \left( 8\pi \int_{0}^{w} t f(t)\, dt \right) = 8\pi w f(w)
$$
于是得到微分方程：
$$
f'(w) = 8\pi w e^{4\pi w^2} + 8\pi w f(w)
$$
公式：微积分基本定理：$\frac{d}{dw}\int_0^w g(t)\,dt = g(w)$
提示：求导时注意 $e^{4\pi w^2}$ 的链式法则，以及积分上限为变量时的求导规则。
步骤 4/6
目标：解一阶线性微分方程
将微分方程写成标准形式：
$$
f'(w) - 8\pi w f(w) = 8\pi w e^{4\pi w^2}
$$
计算积分因子：
$$
\mu(w) = e^{\int -8\pi w\, dw} = e^{-4\pi w^2}
$$
两边乘以积分因子：
$$
e^{-4\pi w^2} f'(w) - 8\pi w e^{-4\pi w^2} f(w) = 8\pi w
$$
左边恰好是 $(e^{-4\pi w^2} f(w))'$，因此：
$$
\frac{d}{dw} \left( e^{-4\pi w^2} f(w) \right) = 8\pi w
$$
公式：一阶线性微分方程通解公式：$\frac{d}{dw}(\mu f) = \mu g$
提示：积分因子计算时注意指数上的负号，确保左边能写成乘积的导数形式。
步骤 5/6
目标：积分求 $f(w)$
两边对 $w$ 积分：
$$
e^{-4\pi w^2} f(w) = \int 8\pi w\, dw = 4\pi w^2 + C
$$
因此：
$$
f(w) = e^{4\pi w^2} (4\pi w^2 + C)
$$
公式：不定积分 $\int 8\pi w\, dw = 4\pi w^2 + C$
提示：积分后不要忘记加上常数 $C$，它将在下一步由初始条件确定。
步骤 6/6
目标：利用初始条件确定常数
在原方程中令 $w=0$。左边 $f(0) = e^{0}(0 + C) = C$。右边：$e^{4\pi \cdot 0} = 1$，积分部分当 $w=0$ 时积分区域半径为 $0$，积分值为 $0$。因此得到 $C = 1$。
最终得到函数表达式：
$$
f(w) = e^{4\pi w^2} (4\pi w^2 + 1)
$$
公式：初始条件：$f(0) = 1$
提示：代入 $w=0$ 时，注意积分区域退化为一点，积分值为 $0$，这是确定常数的关键。
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