广西民族大学 2010年数学分析第0题

设 $a_n = \left(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}\right)^{n}$，则 $\ln a_n = n \ln\left(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，底数中的 $\frac{3}{n^2}$ 和 $\frac{4}{n^3}$ 是 $\frac{2}{n}$ 的高阶无穷小，但需严格展开处理。

令 $t = \frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}$，当 $n \to \infty$ 时 $t \to 0$。利用 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)$。计算 $t = \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{4}{n^3}$，$t^2 = \frac{4}{n^2} + \frac{12}{n^3} + \cdots$（保留到 $\frac{1}{n^2}$ 项）。于是 $\ln(1+t) = \left(\frac{2}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{4}{n^3}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。

将展开结果乘以 $n$：$n \ln(1+t) = 2 + \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，$O\left(\frac{1}{n^2}\right) \to 0$，故 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = 2$，从而 $\lim_{n\to\infty} a_n = e^2$。

原式 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x} - \cot x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - \frac{\cos x}{x \sin x}\right)$。通分得 $\frac{\sin x - x\cos x}{x^2 \sin x}$。

当 $x \to 0$ 时，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$，则 $x\cos x = x - \frac{x^3}{2} + O(x^5)$。分子 $\sin x - x\cos x = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(x - \frac{x^3}{2}\right) + O(x^5) = \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。分母 $x^2 \sin x = x^2\left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) = x^3 - \frac{x^5}{6} + \cdots$。

于是 $\frac{\sin x - x\cos x}{x^2 \sin x} = \frac{\frac{1}{3}x^3 + O(x^5)}{x^3 + O(x^5)} = \frac{\frac{1}{3} + O(x^2)}{1 + O(x^2)}$，当 $x \to 0$ 时，极限为 $\frac{1}{3}$。