广西民族大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）利用 Lagrange 乘数法，求解 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y=1$ 条件下的极值。八、（15 分）若 $L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所包围区域的面积为 $A$ ，求：
$$
\mathfrak{N}\left|\begin{array}{ccc}
d x & d y & d z \\
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
x & y & z
\end{array}\right|, ~(\text { 其中 } L \text { 依正向进行 }) .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：建立拉格朗日函数
目标函数为 $f(x, y, z) = x^2 + y^2$，约束条件为 $x + y = 1$。由于约束条件不含 $z$，$z$ 为自由变量。构造拉格朗日函数：$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1)$。
公式：$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (x + y - 1)$
提示：注意约束条件只有一个，且 $z$ 是自由变量，不影响极值点的求解，但需在拉格朗日函数中保留所有变量。
步骤 2/8
目标：求偏导数并令其为零
对 $\mathcal{L}$ 分别求关于 $x, y, z, \lambda$ 的偏导数并令其为零：
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0$，
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2y + \lambda = 0$，
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 0$（恒成立，无信息），
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = x + y - 1 = 0$。
公式：$\begin{cases} 2x + \lambda = 0 \\ 2y + \lambda = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases}$
提示：由前两个方程相减可得 $x = y$，这是关键步骤。
步骤 3/8
目标：求解驻点
由 $x = y$ 代入约束 $x + y = 1$，得 $2x = 1$，解得 $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2}$。$z$ 可取任意实数，因此驻点为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, z)$，其中 $z \in \mathbb{R}$。
公式：$x = y = \frac{1}{2}$
提示：驻点是一条直线（平行于 $z$ 轴），因为 $z$ 自由。
步骤 4/8
目标：判断极值类型并计算极值
函数 $f(x, y, z) = x^2 + y^2$ 在约束 $x + y = 1$ 下，考虑二次型特征。由于 $x^2 + y^2$ 是开口向上的抛物面，且约束为直线，该点为极小值点。将 $x = y = \frac{1}{2}$ 代入 $f$，得极小值 $f_{\min} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$。沿直线 $x+y=1$ 方向，当 $|x|$ 或 $|y|$ 趋于无穷时，$f$ 趋于无穷，故无最大值。
公式：$f_{\min} = \frac{1}{2}$
提示：注意 $z$ 的任意性不影响函数值，因此极值点有无穷多个，但极值唯一。
步骤 5/8
目标：第八题：将行列式展开为向量场形式
计算行列式 $\begin{vmatrix} dx & dy & dz \\ \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ x & y & z \end{vmatrix}$，按第一行展开：
$= dx(\cos\beta \cdot z - \cos\gamma \cdot y) - dy(\cos\alpha \cdot z - \cos\gamma \cdot x) + dz(\cos\alpha \cdot y - \cos\beta \cdot x)$
$= (z\cos\beta - y\cos\gamma)dx + (x\cos\gamma - z\cos\alpha)dy + (y\cos\alpha - x\cos\beta)dz$。
因此，环路积分 $\oint_L$ 该表达式等价于 $\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$，其中向量场 $\mathbf{F} = (z\cos\beta - y\cos\gamma,\; x\cos\gamma - z\cos\alpha,\; y\cos\alpha - x\cos\beta)$。
公式：$\mathbf{F} = (z\cos\beta - y\cos\gamma,\; x\cos\gamma - z\cos\alpha,\; y\cos\alpha - x\cos\beta)$
提示：展开时注意符号：第二项是 $-dy$ 乘以对应的子式。
步骤 6/8
目标：应用斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分
由斯托克斯公式，$\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中 $S$ 是 $L$ 所围的平面区域，$\mathbf{n}$ 是 $S$ 的单位法向量（方向与 $L$ 的正向符合右手定则）。
公式：$\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$
提示：注意 $L$ 是平面上的闭曲线，$S$ 是该平面上的区域。
步骤 7/8
目标：计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$
计算旋度：
$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z\cos\beta - y\cos\gamma & x\cos\gamma - z\cos\alpha & y\cos\alpha - x\cos\beta \end{vmatrix}$
第一分量：$\frac{\partial}{\partial y}(y\cos\alpha - x\cos\beta) - \frac{\partial}{\partial z}(x\cos\gamma - z\cos\alpha) = \cos\alpha - (-\cos\alpha) = 2\cos\alpha$
第二分量：$\frac{\partial}{\partial z}(z\cos\beta - y\cos\gamma) - \frac{\partial}{\partial x}(y\cos\alpha - x\cos\beta) = \cos\beta - (-\cos\beta) = 2\cos\beta$
第三分量：$\frac{\partial}{\partial x}(x\cos\gamma - z\cos\alpha) - \frac{\partial}{\partial y}(z\cos\beta - y\cos\gamma) = \cos\gamma - (-\cos\gamma) = 2\cos\gamma$
因此，$\nabla \times \mathbf{F} = 2(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$。
公式：$\nabla \times \mathbf{F} = 2(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$
提示：计算偏导时注意符号，尤其是第二分量中 $\frac{\partial}{\partial z}$ 和 $\frac{\partial}{\partial x}$ 的项。
步骤 8/8
目标：计算曲面积分并得出结果
平面方程为 $x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma = 5$，其法向量为 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，且由方向余弦定义，该向量是单位向量（$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$），故单位法向量 $\mathbf{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$。
于是 $(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2(\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma) = 2 \times 1 = 2$。
曲面积分 $\iint_S 2 \, dS = 2 \times A = 2A$。因此原环路积分的值为 $2A$。
公式：$\oint_L \begin{vmatrix} dx & dy & dz \\ \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2A$
提示：注意平面法向量已是单位向量，无需归一化；面积 $A$ 是 $L$ 所围区域的面积。
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