广西民族大学 2010年数学分析第0题

内层积分结果为 \(\frac{52a^3}{3} - 8a^2 u + 2a u^2\)，现在对 \(u\) 从 0 到 \(a\) 积分： \[ I = \int_0^a \left( \frac{52a^3}{3} - 8a^2 u + 2a u^2 \right) du \] 逐项积分： \[ \int_0^a \frac{52a^3}{3} du = \frac{52a^3}{3} \cdot a = \frac{52a^4}{3} \] \[ \int_0^a (-8a^2 u) du = -8a^2 \cdot \frac{a^2}{2} = -4a^4 \] \[ \int_0^a (2a u^2) du = 2a \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2a^4}{3} \] 相加得： \[ I = \frac{52a^4}{3} - 4a^4 + \frac{2a^4}{3} = \frac{54a^4}{3} - 4a^4 = 18a^4 - 4a^4 = 14a^4 \]

因此，第二题积分结果为 \(14a^4\)。

计算 \[ I = \iiint_V \ln \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right) dxdydz \] 其中 \(V\) 是椭球体 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\)。 **第一步：变量替换** 令广义球坐标变换： \[ x = a r \sin\theta \cos\phi, \quad y = b r \sin\theta \sin\phi, \quad z = c r \cos\theta \] 其中 \(r \in [0,1]\)，\(\theta \in [0,\pi]\)，\(\phi \in [0,2\pi]\)。 雅可比行列式： \[ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} \right| = abc \cdot r^2 \sin\theta \] 被积函数变为： \[ \ln \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right) = \ln(r^2) = 2\ln r \]

积分变为： \[ I = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{1} (2\ln r) \cdot (abc \, r^2 \sin\theta) \, dr \, d\theta \, d\phi \] 分离变量： \[ I = 2abc \left( \int_0^{2\pi} d\phi \right) \left( \int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta \right) \left( \int_0^1 r^2 \ln r \, dr \right) \]

计算 \(\int_0^1 r^2 \ln r \, dr\)： 令 \(u = \ln r\)，\(dv = r^2 dr\)，则 \(du = \frac{1}{r} dr\)，\(v = \frac{r^3}{3}\)。 分部积分： \[ \int_0^1 r^2 \ln r \, dr = \left. \frac{r^3}{3} \ln r \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{r^3}{3} \cdot \frac{1}{r} dr = 0 - \frac{1}{3} \int_0^1 r^2 dr = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{9} \] （注意 \(\lim_{r \to 0^+} r^3 \ln r = 0\)）

将各积分结果代入： \[ I = 2abc \cdot (2\pi) \cdot (2) \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = 2abc \cdot 4\pi \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -\frac{8\pi abc}{9} \]