广西民族大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
二、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微， $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x)$ 且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析单调性并确定非负性
由条件 $0 \leq f'(x)$ 可知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。结合 $f(0)=0$ 及单调递增性，对任意 $x \geq 0$，有 $f(x) \geq f(0)=0$，因此 $f(x) \geq 0$。
公式：$f'(x) \geq 0 \Rightarrow f(x) \uparrow$，$f(0)=0 \Rightarrow f(x) \geq 0$
提示：注意单调递增只能得到 $f(x) \geq f(0)$，不能直接得到 $f(x) \geq 0$，但 $f(0)=0$ 保证了这一点。
步骤 2/5
目标：构造函数并求导
考虑辅助函数 $g(x)=e^{-x}f(x)$，对其求导：$g'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$。
公式：$g(x)=e^{-x}f(x)$，$g'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$
提示：构造函数 $e^{-x}f(x)$ 是处理形如 $f'(x) \leq f(x)$ 的不等式的常用技巧。
步骤 3/5
目标：利用导数条件判断单调性
由已知 $f'(x) \leq f(x)$，得 $f'(x)-f(x) \leq 0$，又 $e^{-x}>0$，所以 $g'(x) \leq 0$，故 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不增。
公式：$f'(x) \leq f(x) \Rightarrow g'(x) \leq 0$，$g(x)$ 单调不增
提示：单调不增意味着 $g(x) \leq g(0)$ 对 $x \geq 0$ 成立。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定函数值
计算 $g(0)=e^{0}f(0)=0$。由 $g(x)$ 单调不增，得 $g(x) \leq g(0)=0$。又由第一步知 $f(x) \geq 0$，故 $g(x)=e^{-x}f(x) \geq 0$。因此 $0 \leq g(x) \leq 0$，即 $g(x)=0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立。
公式：$g(0)=0$，$g(x) \leq 0$ 且 $g(x) \geq 0 \Rightarrow g(x)=0$
提示：这里同时用到 $g(x) \leq 0$（来自单调性）和 $g(x) \geq 0$（来自 $f(x) \geq 0$），从而推出恒等于0。
步骤 5/5
目标：还原原函数并得出结论
由 $g(x)=e^{-x}f(x)=0$ 且 $e^{-x}>0$，得 $f(x)=0$ 对任意 $x \in [0,+\infty)$ 成立，即 $f(x) \equiv 0$。
公式：$e^{-x}f(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$
提示：注意 $e^{-x}$ 恒正，所以可以直接消去。
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