广西民族大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, 0<a<b$ ，证明：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将无穷积分表示为极限形式
由于积分区间为 $[0, +\infty)$，且 $x=0$ 处可能为奇点，我们考虑双重极限：
$$ I = \int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lim_{T \to +\infty} \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx $$
公式：$$ I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \lim_{T \to +\infty} \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx $$
提示：注意 $x=0$ 处被积函数可能有奇性，需用 $\varepsilon$ 处理下限；无穷远处用 $T$ 处理上限。
步骤 2/6
目标：拆分积分并进行变量替换
将积分拆分为两个部分：
$$ \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)}{x} \, dx - \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(bx)}{x} \, dx $$
对第一个积分作变量替换 $u = ax$，则 $x = u/a$，$dx = du/a$，且 $\frac{1}{x}dx = \frac{1}{u}du$，积分限变为 $u$ 从 $a\varepsilon$ 到 $aT$，得：
$$ \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)}{x} \, dx = \int_{a\varepsilon}^{aT} \frac{f(u)}{u} \, du $$
同理，对第二个积分作变量替换 $v = bx$，得：
$$ \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(bx)}{x} \, dx = \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(v)}{v} \, dv $$
公式：$$ \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = \int_{a\varepsilon}^{aT} \frac{f(u)}{u} \, du - \int_{b\varepsilon}^{bT} \frac{f(v)}{v} \, dv $$
提示：变量替换时注意 $dx/x = du/u$ 的形式不变，这是关键技巧。
步骤 3/6
目标：合并积分区间并化简
由于 $0 < a < b$，有 $a\varepsilon < b\varepsilon$ 且 $aT < bT$。将第二个积分拆分为三段：
$$ \int_{b\varepsilon}^{bT} = \int_{b\varepsilon}^{a\varepsilon} + \int_{a\varepsilon}^{aT} + \int_{aT}^{bT} $$
代入原式得：
$$ \int_{a\varepsilon}^{aT} - \left( \int_{b\varepsilon}^{a\varepsilon} + \int_{a\varepsilon}^{aT} + \int_{aT}^{bT} \right) = -\int_{b\varepsilon}^{a\varepsilon} - \int_{aT}^{bT} $$
交换第一个积分的上下限（注意 $b\varepsilon > a\varepsilon$），得：
$$ \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u} \, du - \int_{aT}^{bT} \frac{f(u)}{u} \, du $$
公式：$$ \int_{\varepsilon}^{T} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u} \, du - \int_{aT}^{bT} \frac{f(u)}{u} \, du $$
提示：注意积分限的大小关系，拆分时确保方向正确，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：取极限 $\varepsilon \to 0^+$ 处理第一个积分
当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，区间 $[a\varepsilon, b\varepsilon]$ 长度趋于 0，由 $f$ 的连续性，$f(u) \to f(0)$。利用积分中值定理或连续性，有：
$$ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u} \, du = f(0) \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{du}{u} = f(0) \ln \frac{b}{a} $$
严格证明：对任意 $\delta > 0$，存在 $\varepsilon_0$ 使得当 $u \in [a\varepsilon, b\varepsilon]$ 时 $|f(u)-f(0)| < \delta$，则误差可控制在 $\delta \ln(b/a)$ 内。
公式：$$ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u} \, du = f(0) \ln \frac{b}{a} $$
提示：这里利用了 $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{du}{u} = \ln(b/a)$ 与 $\varepsilon$ 无关的性质。
步骤 5/6
目标：取极限 $T \to +\infty$ 处理第二个积分
当 $T \to +\infty$ 时，区间 $[aT, bT]$ 趋于无穷远，由条件 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = k$，类似地有：
$$ \lim_{T \to +\infty} \int_{aT}^{bT} \frac{f(u)}{u} \, du = k \lim_{T \to +\infty} \int_{aT}^{bT} \frac{du}{u} = k \ln \frac{b}{a} $$
严格证明：对任意 $\delta > 0$，存在 $M$ 使得当 $u > M$ 时 $|f(u)-k| < \delta$，则当 $T$ 足够大时误差可控制。
公式：$$ \lim_{T \to +\infty} \int_{aT}^{bT} \frac{f(u)}{u} \, du = k \ln \frac{b}{a} $$
提示：注意 $\int_{aT}^{bT} \frac{du}{u} = \ln(b/a)$ 也与 $T$ 无关，这是关键。
步骤 6/6
目标：合并极限得到最终结果
将两个极限结果代入原式：
$$ I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{f(u)}{u} \, du - \lim_{T \to +\infty} \int_{aT}^{bT} \frac{f(u)}{u} \, du \right) = f(0) \ln \frac{b}{a} - k \ln \frac{b}{a} $$
即：
$$ I = (f(0) - k) \ln \frac{b}{a} $$
公式：$$ \int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} \, dx = (f(0)-k) \ln \frac{b}{a} $$
提示：最终结果与 $a, b$ 的具体值有关，但仅依赖于比值 $b/a$。
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