广西民族大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）已知 $\displaystyle u=\arccos \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求二阶偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ ，并给出二者相等的条件。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义域
函数 $u = \arccos \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的定义域需满足：$\frac{x}{y} \ge 0$，$y \neq 0$，且 $\sqrt{\frac{x}{y}} \in [0,1]$，即 $0 \le x \le y$（假设 $y>0$）。后续求导在 $x>0$ 且 $y>x$ 的开区域内进行。
公式：$0 < x < y$
提示：注意反余弦函数的定义域为 $[-1,1]$，根号值非负，因此 $\sqrt{x/y} \in [0,1]$。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$
令 $t = \sqrt{\frac{x}{y}} = \left(\frac{x}{y}\right)^{1/2}$，则 $u = \arccos t$。由链式法则：
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{d}{dt}(\arccos t) \cdot \frac{\partial t}{\partial x}$。
其中 $\frac{d}{dt}(\arccos t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$，$\frac{\partial t}{\partial x} = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{-1/2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2y}\sqrt{\frac{y}{x}}$。
代入得：
$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{2y}\sqrt{\frac{y}{x}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{y-x}{y}}} \cdot \frac{1}{2y}\sqrt{\frac{y}{x}} = -\frac{1}{2y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x(y-x)}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(y-x)}}$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{2\sqrt{x(y-x)}}$
提示：合并根号时注意 $\sqrt{\frac{y}{y-x}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{y}{\sqrt{x(y-x)}}$，再与 $\frac{1}{2y}$ 相乘。
步骤 3/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial y}$
同样令 $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$，则 $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{d}{dt}(\arccos t) \cdot \frac{\partial t}{\partial y}$。
$\frac{\partial t}{\partial y} = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{-1/2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{2y^2}\sqrt{\frac{y}{x}}$。
代入得：
$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x}{y}}} \cdot \left(-\frac{x}{2y^2}\sqrt{\frac{y}{x}}\right) = \frac{1}{\sqrt{\frac{y-x}{y}}} \cdot \frac{x}{2y^2}\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{x}{2y^2} \cdot \frac{y}{\sqrt{x(y-x)}} = \frac{x}{2y\sqrt{x(y-x)}}$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x}{2y\sqrt{x(y-x)}}$
提示：注意负负得正，化简时 $\sqrt{\frac{y}{y-x}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{y}{\sqrt{x(y-x)}}$。
步骤 4/6
目标：求二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$
由 $u_x = -\frac{1}{2}[x(y-x)]^{-1/2}$，记 $f = x(y-x) = xy - x^2$，则 $u_x = -\frac{1}{2}f^{-1/2}$。
对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial u_x}{\partial y} = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) f^{-3/2} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}$，其中 $\frac{\partial f}{\partial y} = x$。
所以 $u_{xy} = \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{[x(y-x)]^{3/2}} = \frac{x}{4x^{3/2}(y-x)^{3/2}} = \frac{1}{4\sqrt{x}(y-x)^{3/2}}$。
公式：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{1}{4\sqrt{x}(y-x)^{3/2}}$
提示：注意 $[x(y-x)]^{3/2} = x^{3/2}(y-x)^{3/2}$，分子 $x$ 与 $x^{3/2}$ 约分得 $x^{-1/2}$。
步骤 5/6
目标：求二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$
由 $u_y = \frac{x}{2}[x(y-x)]^{-1/2} = \frac{x}{2}f^{-1/2}$，其中 $f = x(y-x)$。
对 $x$ 求偏导，使用乘法法则：
$\frac{\partial u_y}{\partial x} = \frac{1}{2}f^{-1/2} + \frac{x}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) f^{-3/2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}$，其中 $\frac{\partial f}{\partial x} = y - 2x$。
所以 $u_{yx} = \frac{1}{2\sqrt{f}} - \frac{x}{4} \cdot \frac{y-2x}{f^{3/2}}$。
通分，分母为 $4f^{3/2}$：第一项化为 $\frac{2f}{4f^{3/2}} = \frac{2x(y-x)}{4f^{3/2}}$。
分子相减：$2x(y-x) - x(y-2x) = 2xy - 2x^2 - xy + 2x^2 = xy$。
因此 $u_{yx} = \frac{xy}{4[x(y-x)]^{3/2}} = \frac{1}{4\sqrt{x}(y-x)^{3/2}}$。
公式：$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{1}{4\sqrt{x}(y-x)^{3/2}}$
提示：注意乘法法则的应用，以及 $\frac{\partial f}{\partial x} = y - 2x$ 的正确计算。
步骤 6/6
目标：给出二者相等的条件
由计算可知，在定义域内 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{1}{4\sqrt{x}(y-x)^{3/2}}$。根据混合偏导与顺序无关的定理（Clairaut定理），当二阶偏导数连续时二者相等。本题中，在 $x>0$ 且 $y>x$ 的开区域内，一阶偏导连续，二阶混合偏导连续，因此恒相等。
公式：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ 当 $x>0$ 且 $y>x$
提示：注意定义域边界（如 $x=0$ 或 $y=x$）处偏导可能不存在或不连续，此时相等条件不成立。
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