广西民族大学 2010年数学分析第0题

四、（15分）设 $\displaystyle p_{1}(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [b, c]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{1}(x)$ 和 $\displaystyle p_{2}(x)$ 在点 $\displaystyle x=b$ 处连续，且一阶到 $r$ 阶导数均连续．证明必存在 $\displaystyle k-r-1$ 次多项式 $\displaystyle q(x)$ ，使得成立 $\displaystyle p_{2}(x)=p_{1}(x)+(x-b)^{r+1} q(x)$ 。