广西民族大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 二点， O 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作 长方体，求最大体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定三角形ABC的顶点坐标
平面方程为 $x+y+z=3$。令 $y=0, z=0$ 得 $x=3$，即 $A(3,0,0)$；令 $x=0, z=0$ 得 $y=3$，即 $B(0,3,0)$；令 $x=0, y=0$ 得 $z=3$，即 $C(0,0,3)$。因此三角形 $ABC$ 位于第一卦限，且 $x,y,z \ge 0$。
公式：A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3)
提示：注意平面与坐标轴的交点坐标可通过依次令两个变量为零求得。
步骤 2/5
目标：建立长方体体积表达式
以 $OP$ 为对角线，三坐标平面为三个面作长方体，则长方体的三条棱长分别为 $x, y, z$（即点 $P$ 的坐标），因此体积为 $V = xyz$。点 $P$ 在三角形 $ABC$ 上，故满足 $x+y+z=3$ 且 $x,y,z \ge 0$。问题转化为在约束 $x+y+z=3$，$x,y,z \ge 0$ 下求 $V=xyz$ 的最大值。
公式：V = xyz
提示：长方体以原点为一个顶点，点P为对角顶点，棱平行于坐标轴，故棱长就是坐标值。
步骤 3/5
目标：应用均值不等式求最大值
由算术-几何均值不等式（AM-GM）：对于非负实数 $x,y,z$，有 $\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$。代入 $x+y+z=3$ 得 $\frac{3}{3} = 1 \ge \sqrt[3]{xyz}$，即 $xyz \le 1$。等号成立当且仅当 $x=y=z$。
公式：\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}
提示：均值不等式取等条件为各数相等，这是求最值的关键。
步骤 4/5
目标：求解等号成立时的坐标并验证
由 $x=y=z$ 及 $x+y+z=3$ 得 $3x=3$，即 $x=y=z=1$。点 $(1,1,1)$ 满足 $x+y+z=3$ 且 $x,y,z \ge 0$，位于三角形 $ABC$ 内部，是可行点。因此最大体积 $V_{\max}=1$。
公式：x=y=z=1, V_{\max}=1
提示：验证点是否在三角形上只需检查是否满足平面方程且坐标非负。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
综上所述，长方体最大体积为 $1$。
公式：\boxed{1}
提示：答案需用方框标出。
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