广西民族大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
1）$\forall n, f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续且有 $f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x)(x \in[a, b])$ ，
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和待证结论
已知：对每个自然数 $n$，$f_n(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且对任意 $x \in [a,b]$ 有 $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$（单调递增）。假设 $f_n(x)$ 逐点收敛到 $f(x)$，且 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。需要证明 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f$。
公式：$\forall x \in [a,b],\; f_n(x) \leq f_{n+1}(x),\; \lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)$
提示：注意单调递增和连续性是关键条件，极限函数连续是额外假设，不可遗漏。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数列并分析其性质
定义 $g_n(x) = f(x) - f_n(x)$。由 $f_n(x) \leq f_{n+1}(x) \leq f(x)$ 可知，对每个固定的 $x$，$g_n(x) \geq 0$ 且 $g_n(x)$ 单调递减趋于 $0$。由于 $f$ 和 $f_n$ 均连续，故 $g_n$ 也在 $[a,b]$ 上连续。
公式：$g_n(x) = f(x) - f_n(x) \geq 0,\; g_{n+1}(x) \leq g_n(x),\; \lim_{n\to\infty} g_n(x)=0$
提示：将收敛性问题转化为非负连续函数列单调趋于零的问题，便于使用紧性。
步骤 3/4
目标：利用开覆盖构造关键集合
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，定义集合 $E_n = \{ x \in [a,b] : g_n(x) < \varepsilon \}$。由于 $g_n$ 连续，$E_n$ 是 $[a,b]$ 中的相对开集。由逐点收敛性，对每个 $x \in [a,b]$，存在 $N$ 使得 $g_N(x) < \varepsilon$，即 $x \in E_N$，因此 $\bigcup_{n=1}^\infty E_n = [a,b]$。又由 $g_n$ 单调递减，若 $x \in E_n$，则对任意 $m \geq n$ 有 $x \in E_m$，故 $E_n \subseteq E_{n+1}$，集合列是递增的。
公式：$E_n = \{ x \in [a,b] : g_n(x) < \varepsilon \},\; \bigcup_{n=1}^\infty E_n = [a,b],\; E_n \subseteq E_{n+1}$
提示：单调性保证了集合的递增性，这是从有限覆盖过渡到单个集合的关键。
步骤 4/4
目标：应用紧性得到一致收敛性
由于 $[a,b]$ 是紧集，开覆盖 $\{E_n\}$ 存在有限子覆盖。又因为 $E_n$ 递增，有限子覆盖中最大的下标对应的集合即为整个区间，即存在 $N$ 使得 $E_N = [a,b]$。这意味着对所有 $x \in [a,b]$，$g_N(x) < \varepsilon$。由 $g_n$ 的单调性，对任意 $n \geq N$ 和任意 $x \in [a,b]$，有 $g_n(x) \leq g_N(x) < \varepsilon$，即 $|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$。这就证明了一致收敛性。
公式：$\forall \varepsilon>0,\; \exists N,\; \forall n \geq N,\; \forall x \in [a,b]:\; |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$
提示：紧性（有限覆盖性质）和集合递增性结合，是Dini定理证明的核心技巧。
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