广西民族大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）。求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数在 x=0 处连续的条件
函数在 $x=0$ 处可导的必要条件是它在该点连续。计算左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2+1) = 1$；右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (ax+b) = b$；函数值 $f(0)=b$。由连续性得 $b=1$。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
提示：注意分段函数在分段点处的函数值由定义域决定，这里 $x=0$ 属于 $x \ge 0$ 的部分，所以 $f(0)=b$。
步骤 2/5
目标：计算右导数
当 $x>0$ 时，$f(x)=ax+b$，其导数为 $a$。因此 $f$ 在 $x=0$ 处的右导数为 $f'_+(0) = a$。
公式：f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = a
提示：右导数可以直接用导函数在 $x=0$ 处的值，因为 $ax+b$ 在 $x=0$ 处可导。
步骤 3/5
目标：计算左导数
当 $x<0$ 时，$f(x)=x^2+1$，其导数为 $2x$。因此 $f$ 在 $x=0$ 处的左导数为 $f'_-(0) = 2 \cdot 0 = 0$。
公式：f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = 0
提示：注意 $f(0)=b=1$，代入左导数定义式时需小心。
步骤 4/5
目标：由可导条件建立方程
函数在 $x=0$ 处可导要求左右导数相等，即 $f'_+(0) = f'_-(0)$，代入得 $a = 0$。
公式：f'_+(0) = f'_-(0) \Rightarrow a = 0
提示：可导的充要条件是左右导数存在且相等，不要遗漏连续性条件。
步骤 5/5
目标：综合结果并给出答案
由连续性得 $b=1$，由可导性得 $a=0$。因此当 $a=0, b=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
公式：a=0,\quad b=1
提示：最终答案需同时满足两个条件，缺一不可。
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