广西民族大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
五、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有界。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 致连续．六、计算下列积分（每小题 10 分，共 3 小题，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[e^{x}\right] d x$（注 1 。 $\displaystyle ]$ 表取整函数）；
（3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：证明导数有界性蕴含Lipschitz条件
由条件，存在常数 $M>0$，使得对任意 $x \in (a,b)$，有 $|f'(x)| \le M$。对任意 $x_1, x_2 \in (a,b)$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$。取绝对值并利用导数有界性得 $|f(x_2)-f(x_1)| \le M|x_2-x_1|$。
公式：|f(x_2)-f(x_1)| \le M|x_2-x_1|
提示：注意拉格朗日中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里虽然区间是开区间，但对任意两点可取闭子区间应用定理。
步骤 2/9
目标：利用Lipschitz条件证明一致连续
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$。则当 $|x_2 - x_1| < \delta$ 时，由Lipschitz条件得 $|f(x_2)-f(x_1)| \le M|x_2-x_1| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$。这满足一致连续的定义，故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta=\varepsilon/M, \forall x_1,x_2\in(a,b):|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：一致连续的关键是 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置，这里 $\delta$ 与 $x_1,x_2$ 无关。
步骤 3/9
目标：计算积分（1）：换元化简
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x dx$。由于 $\cos^3 x = (1-\sin^2 x)\cos x = (1-t^2)\cos x$，所以 $\sin x \cos^3 x dx = t(1-t^2) dt$。原积分化为 $\int \frac{t(1-t^2)}{1+t^2} dt$。
公式：\int \frac{\sin x \cos^3 x}{1+\sin^2 x} dx = \int \frac{t(1-t^2)}{1+t^2} dt
提示：换元时注意 $\cos^3 x$ 要分解出一个 $\cos x$ 与 $dt$ 匹配，剩余部分用 $\sin x$ 表示。
步骤 4/9
目标：计算积分（1）：有理函数拆分
将 $\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}$ 变形：$\frac{t - t^3}{1+t^2} = \frac{t(1+t^2) - 2t^3}{1+t^2} = t - \frac{2t^3}{1+t^2}$。再处理 $\frac{2t^3}{1+t^2} = 2t - \frac{2t}{1+t^2}$，代入得原式 $= t - (2t - \frac{2t}{1+t^2}) = -t + \frac{2t}{1+t^2}$。
公式：\frac{t(1-t^2)}{1+t^2} = -t + \frac{2t}{1+t^2}
提示：有理函数拆分时常用加一项减一项的技巧，也可直接用多项式除法。
步骤 5/9
目标：计算积分（1）：积分并回代
积分得 $\int (-t + \frac{2t}{1+t^2}) dt = -\frac{t^2}{2} + \ln(1+t^2) + C$。回代 $t = \sin x$，得原积分为 $-\frac{\sin^2 x}{2} + \ln(1+\sin^2 x) + C$。
公式：\int \frac{\sin x \cos^3 x}{1+\sin^2 x} dx = -\frac{\sin^2 x}{2} + \ln(1+\sin^2 x) + C
提示：注意 $\ln(1+t^2)$ 的导数确实是 $\frac{2t}{1+t^2}$，无需加绝对值。
步骤 6/9
目标：计算积分（2）：确定取整函数的分段点
在 $[0,2]$ 上，$e^x$ 单调递增。$[e^x]$ 的值在 $e^x$ 经过整数时改变：$e^x=1$ 时 $x=0$；$e^x=2$ 时 $x=\ln2$；$e^x=3$ 时 $x=\ln3$；$e^x=4$ 时 $x=\ln4$；$e^x=5$ 时 $x=\ln5$；$e^x=6$ 时 $x=\ln6$；$e^x=7$ 时 $x=\ln7$；$e^2 \approx 7.389$，故 $x=2$ 时 $[e^x]=7$。分段区间为 $[0,\ln2), [\ln2,\ln3), \ldots, [\ln7,2]$。
公式：\text{分界点：}0, \ln2, \ln3, \ln4, \ln5, \ln6, \ln7, 2
提示：注意取整函数在整数点处左连续，积分时端点值不影响积分值，可任意指定。
步骤 7/9
目标：计算积分（2）：分段积分并化简
积分 $= 1\cdot(\ln2-0) + 2\cdot(\ln3-\ln2) + 3\cdot(\ln4-\ln3) + 4\cdot(\ln5-\ln4) + 5\cdot(\ln6-\ln5) + 6\cdot(\ln7-\ln6) + 7\cdot(2-\ln7)$。合并同类项：$\ln2$ 系数 $1-2=-1$，$\ln3$ 系数 $2-3=-1$，$\ln4$ 系数 $3-4=-1$，$\ln5$ 系数 $4-5=-1$，$\ln6$ 系数 $5-6=-1$，$\ln7$ 系数 $6-7=-1$，常数项 $14$。结果为 $14 - (\ln2+\ln3+\ln4+\ln5+\ln6+\ln7) = 14 - \ln(2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7) = 14 - \ln5040$。
公式：\int_0^2 [e^x] dx = 14 - \ln5040
提示：合并对数时注意 $\ln a + \ln b = \ln(ab)$，最终结果可保留为 $14-\ln5040$。
步骤 8/9
目标：计算积分（3）：利用广义球坐标变换
令 $x = a r \sin\theta \cos\phi$, $y = b r \sin\theta \sin\phi$, $z = c r \cos\theta$，其中 $r \in [0,1]$, $\theta \in [0,\pi]$, $\phi \in [0,2\pi]$。雅可比行列式为 $|J| = abc \cdot r^2 \sin\theta$。被积函数 $x^2+y^2+z^2 = a^2 r^2 \sin^2\theta \cos^2\phi + b^2 r^2 \sin^2\theta \sin^2\phi + c^2 r^2 \cos^2\theta$。
公式：\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dxdydz = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 (a^2 r^2 \sin^2\theta \cos^2\phi + b^2 r^2 \sin^2\theta \sin^2\phi + c^2 r^2 \cos^2\theta) \cdot abc \, r^2 \sin\theta \, dr d\theta d\phi
提示：广义球坐标变换中，$r$ 的范围是 $0$ 到 $1$，因为椭球方程化为 $r^2 \le 1$。
步骤 9/9
目标：计算积分（3）：分离变量并积分
积分可分解为三项之和。第一项：$a^2 abc \int_0^{2\pi} \cos^2\phi d\phi \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta \int_0^1 r^4 dr$。计算：$\int_0^{2\pi} \cos^2\phi d\phi = \pi$，$\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \frac{4}{3}$，$\int_0^1 r^4 dr = \frac{1}{5}$，故第一项为 $a^3 bc \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{15} a^3 bc$。同理，第二项 $b^2 abc$ 部分得 $\frac{4\pi}{15} ab^3 c$，第三项 $c^2 abc$ 部分得 $\frac{4\pi}{15} abc^3$。总和为 $\frac{4\pi}{15} abc (a^2 + b^2 + c^2)$。
公式：\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dxdydz = \frac{4\pi}{15} abc (a^2+b^2+c^2)
提示：注意 $\int_0^{2\pi} \sin^2\phi d\phi = \pi$，$\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \frac{4}{3}$，这些常用积分值可直接使用。
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