广西民族大学 2011年数学分析第0题

曲面 $\Sigma$ 由两部分组成：锥面部分 $\Sigma_1: z^2 = x^2 + y^2$，$0 \le z \le 2$，取外侧（法向量指向远离 $z$ 轴的方向）；顶部圆盘 $\Sigma_2: z = 2$，$x^2 + y^2 \le 4$，法向量朝上（指向 $z$ 轴正方向）。底面 $z=0$ 退化为一点，无面积，忽略。

设 $P = x^2$，$Q = y^2$，$R = z^2$，则散度为： $$ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z) $$ 由高斯公式，封闭曲面 $\partial \Omega$ 上的积分为： $$ \iint_{\partial \Omega} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = \iiint_{\Omega} 2(x+y+z) dV $$ 其中 $\Omega$ 为锥体：$0 \le z \le 2$，$x^2 + y^2 \le z^2$。

由于区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，且 $x$ 和 $y$ 为奇函数，故 $\iiint_{\Omega} x dV = 0$，$\iiint_{\Omega} y dV = 0$，积分简化为： $$ \iiint_{\Omega} 2z dV $$ 采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dV = r dr d\theta dz$，区域：$0 \le z \le 2$，$0 \le r \le z$，$0 \le \theta \le 2\pi$。 $$ \begin{aligned} \iiint_{\Omega} 2z dV &= \int_{z=0}^2 \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^z 2z \cdot r \, dr d\theta dz \\ &= \int_0^2 \int_0^{2\pi} \left[ 2z \cdot \frac{z^2}{2} \right] d\theta dz \\ &= \int_0^2 \int_0^{2\pi} z^3 \, d\theta dz \\ &= \int_0^2 2\pi z^3 \, dz = 2\pi \cdot \frac{z^4}{4} \Big|_0^2 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \end{aligned} $$ 故封闭曲面总积分为 $8\pi$。

顶部圆盘 $\Sigma_2: z=2$，$x^2+y^2 \le 4$，方向向上（法向量与 $z$ 轴正向一致）。对于第二类曲面积分，只有 $dxdy$ 项有贡献（因为 $dy dz$ 和 $dz dx$ 在 $z$ 为常数的平面上投影为零）： $$ \iint_{\Sigma_2} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = \iint_{D} z^2 \, dx dy $$ 其中 $D$ 为圆盘 $x^2+y^2 \le 4$，且 $z=2$，故 $z^2=4$。 $$ \iint_{D} 4 \, dx dy = 4 \times \text{面积}(D) = 4 \times (\pi \cdot 2^2) = 16\pi $$

锥面外侧的积分等于封闭曲面总积分减去顶部圆盘外侧的积分： $$ \iint_{\Sigma_1} x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy = 8\pi - 16\pi = -8\pi $$ 因此，所求积分为 $-8\pi$。