广西民族大学 2011年数学分析第0题

要证明连续，只需验证极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$。当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，有 $|f(x,y)| = \left| (x^2+y^2) \sin\frac{1}{x^2+y^2} \right| \le x^2+y^2$，因为 $|\sin(\cdot)| \le 1$。而 $x^2+y^2 \to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$，由夹逼定理可得极限为 $0$，所以连续成立。

先求对 $x$ 的偏导：$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $h\neq 0$ 时，$f(h,0)=h^2\sin\frac{1}{h^2}$，所以 $\frac{f(h,0)-0}{h}=h\sin\frac{1}{h^2}$。由于 $|h\sin(1/h^2)|\le |h|\to 0$，故极限为 $0$，即 $f_x(0,0)=0$。同理，$f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-0}{k}=k\sin\frac{1}{k^2}=0$。

当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，对 $x$ 求偏导：$f_x(x,y)=2x\sin\frac{1}{x^2+y^2}+(x^2+y^2)\cos\frac{1}{x^2+y^2}\cdot\frac{-2x}{(x^2+y^2)^2}=2x\sin\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2x}{x^2+y^2}\cos\frac{1}{x^2+y^2}$。同理，$f_y(x,y)=2y\sin\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y}{x^2+y^2}\cos\frac{1}{x^2+y^2}$。

考虑沿路径 $x=t, y=0$ 趋近原点：$f_x(t,0)=2t\sin\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}\cos\frac{1}{t^2}$。当 $t\to 0$，第一项趋于 $0$，但第二项 $\frac{2}{t}\cos(1/t^2)$ 由于 $\cos$ 振荡且分母趋于 $0$，振幅无限大，极限不存在。因此 $f_x$ 在原点不连续，同理 $f_y$ 也不连续。

可微定义：存在常数 $A,B$ 使得 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-Ah-Bk}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。已知 $f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，取 $A=0,B=0$，只需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{(h^2+k^2)\sin\frac{1}{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。化简得 $\sqrt{h^2+k^2}\cdot\sin\frac{1}{h^2+k^2}$，其绝对值 $\le \sqrt{h^2+k^2}\to 0$，故极限为 $0$，可微成立。