广西民族大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
一、求下列极限（每小题 10 分，共 2 小题，共 20 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析极限形式，判断未定式类型
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt[3]{x+1}-1 \to 0$，分母 $\sqrt{x+1}-1 \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，适合使用等价无穷小替换或有理化方法。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1} \text{ 是 } \frac{0}{0} \text{ 型}
提示：注意检查分子分母是否同时趋于0，这是使用等价无穷小的前提。
步骤 2/8
目标：应用等价无穷小替换简化分子分母
当 $t \to 0$ 时，有 $(1+t)^\alpha - 1 \sim \alpha t$。令 $t = x$，则分子 $\sqrt[3]{1+x} - 1 \sim \frac{1}{3}x$，分母 $\sqrt{1+x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$。
公式：(1+x)^{\frac{1}{3}} - 1 \sim \frac{1}{3}x, \quad (1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 \sim \frac{1}{2}x
提示：确保 $x \to 0$ 时 $x$ 是无穷小量，且替换时注意系数不要写错。
步骤 3/8
目标：代入等价无穷小并计算极限
将等价无穷小代入原式：$\frac{\frac{1}{3}x}{\frac{1}{2}x} = \frac{2}{3}$，因此极限为 $\frac{2}{3}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x}{\frac{1}{2}x} = \frac{2}{3}
提示：约去 $x$ 时注意 $x \neq 0$，但极限过程中 $x$ 趋近于0而不等于0，所以可以约分。
步骤 4/8
目标：换元法验证结果（可选）
令 $t = \sqrt[6]{x+1}$，则 $x \to 0$ 时 $t \to 1$，分子变为 $t^2 - 1$，分母变为 $t^3 - 1$，化简得 $\frac{t+1}{t^2+t+1}$，代入 $t=1$ 得 $\frac{2}{3}$，验证一致。
公式：\frac{t^2-1}{t^3-1} = \frac{(t-1)(t+1)}{(t-1)(t^2+t+1)} = \frac{t+1}{t^2+t+1}
提示：换元法可以避免等价无穷小替换的误差，但步骤较多，适合验证。
步骤 5/8
目标：将第二题的对数乘积转化为和式
原极限为 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right) \right]$，利用对数性质：$\ln(ab) = \ln a + \ln b$，得到 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$。
公式：\frac{1}{n} \ln \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)
提示：注意乘积的对数等于对数的和，这是处理连乘极限的常用技巧。
步骤 6/8
目标：识别黎曼和并转化为定积分
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$ 趋近于定积分 $\int_0^1 f(x) \, dx$，这里 $f(x) = \ln(1+x)$，因此极限等于 $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：黎曼和的形式要求区间为 $[0,1]$，且 $\frac{k}{n}$ 对应分点，$\frac{1}{n}$ 对应小区间长度。
步骤 7/8
目标：计算定积分 $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx$
使用分部积分法：令 $u = \ln(1+x)$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{1+x}dx$，$v = x$。于是 $\int \ln(1+x) \, dx = x\ln(1+x) - \int \frac{x}{1+x} \, dx$。计算 $\int \frac{x}{1+x} \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) dx = x - \ln(1+x)$。所以原积分为 $x\ln(1+x) - x + \ln(1+x) + C = (x+1)\ln(1+x) - x + C$。代入上下限：$\left[(x+1)\ln(1+x) - x\right]_0^1 = (2\ln 2 - 1) - (1 \cdot \ln 1 - 0) = 2\ln 2 - 1$。
公式：\int_0^1 \ln(1+x) \, dx = \left[(x+1)\ln(1+x) - x\right]_0^1 = 2\ln 2 - 1
提示：分部积分时注意 $\ln(1+x)$ 的导数，以及 $\frac{x}{1+x}$ 的拆分技巧，避免积分错误。
步骤 8/8
目标：得出第二题极限结果
由上述积分结果，原极限为 $2\ln 2 - 1$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln \left[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right) \right] = 2\ln 2 - 1
提示：最终结果可以保留对数形式，无需近似为小数。
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