广西民族大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{3}}$ 的值，并证明它也等于数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将积分拆分为部分分式
首先对分母进行因式分解：$1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)$。设部分分式分解形式为：
$$
\frac{1}{1+x^3} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1-x+x^2}.
$$
两边乘以 $1+x^3$ 得到：
$$
1 = A(1-x+x^2) + (Bx+C)(1+x).
$$
展开并合并同类项：
- 常数项：$A+C$
- $x$ 项：$-A+B+C$
- $x^2$ 项：$A+B$
比较系数得方程组：
$$
\begin{cases}
A + C = 1, \\
-A + B + C = 0, \\
A + B = 0.
\end{cases}
$$
解得 $A = \frac{1}{3}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{2}{3}$。因此：
$$
\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{1 - x + x^2}.
$$
公式：\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{1 - x + x^2}
提示：注意因式分解的正确性，以及解线性方程组时不要漏项。
步骤 2/7
目标：积分第一部分：简单对数积分
计算第一部分积分：
$$
\int_0^1 \frac{1/3}{1+x} \, dx = \frac{1}{3} \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \frac{1}{3} \ln 2.
$$
公式：\int \frac{1}{1+x} dx = \ln|1+x| + C
提示：注意对数函数的定义域，在区间[0,1]上恒正，无需绝对值。
步骤 3/7
目标：处理第二部分积分：配方并拆分分子
第二部分积分为：
$$
\int_0^1 \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{1 - x + x^2} \, dx.
$$
对分母配方：$1 - x + x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$。
将分子改写为关于 $(x-\frac{1}{2})$ 的形式：
$$
-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}.
$$
因此积分拆分为：
$$
-\frac{1}{3} \int_0^1 \frac{x - \frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} \, dx + \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}.
$$
公式：1 - x + x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}
提示：配方时注意常数项的计算，分子拆分要准确对应。
步骤 4/7
目标：计算第二部分中的第一个积分（对数型）
令 $u = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，则 $du = 2(x-\frac{1}{2})dx$，所以：
$$
\int \frac{x-\frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left((x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\right).
$$
代入上下限：
- 当 $x=1$：$\frac{1}{2} \ln(1) = 0$
- 当 $x=0$：$\frac{1}{2} \ln(1) = 0$
因此该部分积分为 $0$。
公式：\int \frac{x-\frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2} \ln\left((x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\right)
提示：注意换元后上下限的对应，以及对数函数在端点处取值相等导致差为零。
步骤 5/7
目标：计算第二部分中的第二个积分（反正切型）
计算积分：
$$
\int_0^1 \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.
$$
利用公式 $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)$，这里 $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$$
\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{3}/2} \right).
$$
代入上下限：
- 当 $x=1$：$\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$
- 当 $x=0$：$\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{-1/2}{\sqrt{3}/2} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$
相减得：$\frac{\pi}{3\sqrt{3}} - \left(-\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\right) = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$。再乘以系数 $\frac{1}{2}$，得：
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
$$
公式：\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C
提示：注意反正切函数是奇函数，代入负值时符号要正确。
步骤 6/7
目标：合并积分结果
将第一部分和第二部分的结果相加：
$$
I = \frac{1}{3} \ln 2 + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
$$
公式：\int_0^1 \frac{dx}{1+x^3} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}
提示：注意两部分系数不要混淆，最终结果要化简。
步骤 7/7
目标：将积分与级数联系起来
利用几何级数展开：当 $|x|<1$ 时，
$$
\frac{1}{1+x^3} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{3n}.
$$
在区间 $[0,1]$ 上，级数一致收敛，可以逐项积分：
$$
\int_0^1 \frac{dx}{1+x^3} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^1 x^{3n} \, dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{3n+1}.
$$
因此积分值等于该级数的和。
公式：\frac{1}{1+x^3} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{3n}, \quad \int_0^1 x^{3n} dx = \frac{1}{3n+1}
提示：注意几何级数的收敛条件，以及逐项积分需要验证一致收敛性（在[0,1]上成立）。
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