广西民族大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）设平面 $\displaystyle x+y+z=3$ 截三坐标轴于 $\displaystyle \mathbf{A , B , C}$ 三点， O 为坐标原点，$\displaystyle P(x, y, z)$ 为三角形 ABC上一点，以 OP 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，求最大体积．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定平面与坐标轴的交点及点P的约束条件
平面方程为 $x+y+z=3$。令 $y=0, z=0$ 得 $A(3,0,0)$；令 $x=0, z=0$ 得 $B(0,3,0)$；令 $x=0, y=0$ 得 $C(0,0,3)$。点 $P(x,y,z)$ 在三角形 $ABC$ 上，因此满足 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ 且 $x+y+z=3$。
公式：x+y+z=3, \quad x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0
提示：注意三角形ABC位于第一卦限，坐标非负。
步骤 2/5
目标：建立长方体体积表达式
以 $OP$ 为对角线，三坐标平面为三面作长方体，其三个棱长分别为 $|x|, |y|, |z|$。由于 $P$ 在第一卦限，$x,y,z>0$，因此体积为 $V = xyz$。问题转化为在约束 $x+y+z=3$ 且 $x>0, y>0, z>0$ 下求 $V$ 的最大值。
公式：V = xyz
提示：体积公式直接由长方体体积定义得出，注意坐标正负。
步骤 3/5
目标：应用均值不等式求最大值
由均值不等式，对于正数 $x,y,z$ 有 $\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$。代入 $x+y+z=3$ 得 $1 \ge \sqrt[3]{xyz}$，即 $xyz \le 1$。等号成立当且仅当 $x=y=z$。由 $x+y+z=3$ 解得 $x=y=z=1$。因此最大体积为 $1$。
公式：\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le 1
提示：均值不等式取等条件为各数相等，这是关键。
步骤 4/5
目标：验证点是否在三角形内部
点 $(1,1,1)$ 满足 $x+y+z=3$，且 $x=1>0, y=1>0, z=1>0$，故位于三角形 $ABC$ 内部，符合题意。
公式：无
提示：确保极值点落在可行域内，避免边界无效解。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
因此，长方体最大体积为 $1$。
公式：\boxed{1}
提示：答案需明确标注。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。