广西民族大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）叙述函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 不一致收敛到函数 $\displaystyle f(x)$ 的分析定义，并用定义证明 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：叙述不一致收敛的分析定义
函数列 $\{f_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上不一致收敛到函数 $f(x)$ 的分析定义（$\varepsilon$-$N$ 语言的否定形式）为：存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对于任意大的正整数 $N$，都能找到某个 $n > N$ 以及某个 $x_n \in I$，满足 $|f_n(x_n) - f(x_n)| \ge \varepsilon_0$。
公式：$\exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n > N,\ \exists x_n \in I,\ \text{s.t.}\ |f_n(x_n)-f(x_n)| \ge \varepsilon_0$
提示：注意与一致收敛定义的对比：一致收敛要求 $\forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in I$ 成立，而不一致收敛是它的否定，即存在一个固定的 $\varepsilon_0$ 使得无论 $N$ 多大，总存在 $n>N$ 和某个 $x$ 破坏条件。
步骤 2/6
目标：确定极限函数
对于 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上，当 $x \in [0,1)$ 时，$\lim_{n\to\infty} x^n = 0$；当 $x=1$ 时，$\lim_{n\to\infty} 1^n = 1$。因此逐点极限函数为 $f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1, \\ 1, & x = 1. \end{cases}$
公式：$f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1\\1,&x=1\end{cases}$
提示：极限函数在 $x=1$ 处不连续，而每个 $f_n(x)$ 连续，这已经暗示了不一致收敛（因为一致收敛保持连续性）。
步骤 3/6
目标：选取合适的 $\varepsilon_0$
取 $\varepsilon_0 = \frac12$。这个值介于 $0$ 和 $1$ 之间，便于后续构造点使得函数值与极限函数值的差达到该值。
公式：$\varepsilon_0 = \frac12$
提示：选择 $\varepsilon_0$ 时，通常取一个小于极限函数在间断点处跳跃的值，例如这里跳跃为 $1$，取 $\frac12$ 即可。
步骤 4/6
目标：对任意 $N$ 构造 $n$ 和 $x_n$
对于任意给定的正整数 $N$，取 $n = N+1$（显然 $n > N$），并取 $x_n = \left(\frac12\right)^{\frac{1}{n}}$。由于 $0 < \left(\frac12\right)^{1/n} < 1$，故 $x_n \in [0,1)$，此时 $f(x_n)=0$。
公式：$n=N+1,\quad x_n = \left(\frac12\right)^{1/n}$
提示：构造 $x_n$ 的关键是使得 $f_n(x_n)$ 等于一个固定的正数（这里为 $\frac12$），从而与 $f(x_n)=0$ 的差恒定。
步骤 5/6
目标：计算差值的绝对值
计算 $f_n(x_n) = \left[\left(\frac12\right)^{1/n}\right]^n = \frac12$，于是 $|f_n(x_n)-f(x_n)| = \left|\frac12 - 0\right| = \frac12$。
公式：$|f_n(x_n)-f(x_n)| = \frac12$
提示：注意 $x_n$ 的选取使得 $x_n^n = \frac12$ 恒成立，与 $n$ 无关，从而差值固定。
步骤 6/6
目标：验证不一致收敛条件
由于 $\frac12 \ge \varepsilon_0 = \frac12$，因此对任意 $N$，存在 $n=N+1>N$ 及 $x_n \in [0,1]$，使得 $|f_n(x_n)-f(x_n)| \ge \varepsilon_0$。根据不一致收敛的分析定义，函数列 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。
公式：$\exists \varepsilon_0=\frac12,\ \forall N,\ \exists n=N+1>N,\ \exists x_n=(\frac12)^{1/n},\ \text{s.t.}\ |f_n(x_n)-f(x_n)|=\frac12\ge\varepsilon_0$
提示：这里 $\ge$ 实际上取等号，满足条件。注意定义中要求 $\ge \varepsilon_0$，等号是允许的。
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