广西民族大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
二、（10 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定函数在 x=0 处可导的条件
函数在 $x=0$ 处可导必须满足两个条件：
1. 在 $x=0$ 处连续；
2. 在 $x=0$ 处左导数等于右导数。
提示：可导必连续，但连续不一定可导，因此两个条件缺一不可。
步骤 2/6
目标：利用连续性条件求出 b
计算左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2+1) = 1$。
计算右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (ax+b) = b$。
函数值：$f(0)=b$。
由连续性：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$，即 $1 = b$。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
提示：注意分段函数在分段点处的函数值由定义域决定，此处 $x=0$ 属于 $x \ge 0$ 部分，故 $f(0)=b$。
步骤 3/6
目标：计算右导数
对于 $x > 0$，$f(x)=ax+b$，其导数为 $f'(x)=a$。
因此右导数为：$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax+b-b}{x} = a$。
公式：f'_+(0) = a
提示：右导数可直接由右侧导函数在 $x=0$ 处的值得到，但需注意 $x=0$ 处导数定义的使用。
步骤 4/6
目标：计算左导数
对于 $x < 0$，$f(x)=x^2+1$，其导数为 $f'(x)=2x$。
因此左导数为：$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+1-1}{x} = \lim_{x \to 0^-} x = 0$。
公式：f'_-(0) = 0
提示：注意 $f(0)=b=1$ 已由连续性确定，代入计算左导数时需使用此值。
步骤 5/6
目标：由可导条件求出 a
可导要求左导数等于右导数：$f'_-(0) = f'_+(0)$，即 $0 = a$。
因此 $a=0$。
公式：f'_-(0) = f'_+(0) \Rightarrow a = 0
提示：左导数与右导数相等是分段点可导的关键条件。
步骤 6/6
目标：总结结果
由连续性得 $b=1$，由可导性得 $a=0$。
因此当 $a=0, b=1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
公式：\boxed{a=0,\ b=1}
提示：验证：此时函数为 $f(x)=\begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ x^2+1, & x<0 \end{cases}$，在 $x=0$ 处连续且导数为 $0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。