广西民族大学 2014年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数， $\displaystyle \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 为常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对方程两边关于 x 求偏导
将 $z$ 视为 $x,y$ 的函数，对方程 $a x + b y + c z = \phi(x^2 + y^2 + z^2)$ 两边关于 $x$ 求偏导。左边导数为 $a + c \frac{\partial z}{\partial x}$。右边令 $u = x^2 + y^2 + z^2$，则 $\frac{\partial}{\partial x} \phi(u) = \phi'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$，而 $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x}$。因此得到方程：
公式：a + c \frac{\partial z}{\partial x} = \phi'(u) \left( 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} \right)
提示：注意 $z$ 是隐函数，求导时不能遗漏 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 项。
步骤 2/5
目标：对方程两边关于 y 求偏导
类似地，对方程两边关于 $y$ 求偏导。左边导数为 $b + c \frac{\partial z}{\partial y}$。右边 $\frac{\partial}{\partial y} \phi(u) = \phi'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$，而 $\frac{\partial u}{\partial y} = 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y}$。得到方程：
公式：b + c \frac{\partial z}{\partial y} = \phi'(u) \left( 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} \right)
提示：注意对称性，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：从两个方程中消去 $\phi'(u)$
由第一步和第二步分别解出 $\phi'(u)$：
$\phi'(u) = \dfrac{a + c \frac{\partial z}{\partial x}}{2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x}} = \dfrac{b + c \frac{\partial z}{\partial y}}{2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y}}$。
消去分母中的因子2，得到：
$\dfrac{a + c z_x}{x + z z_x} = \dfrac{b + c z_y}{y + z z_y}$，其中 $z_x = \frac{\partial z}{\partial x}, z_y = \frac{\partial z}{\partial y}$。
公式：\frac{a + c z_x}{x + z z_x} = \frac{b + c z_y}{y + z z_y}
提示：交叉相乘前确保分母不为零，但此处为恒等变形。
步骤 4/5
目标：交叉相乘并展开
交叉相乘得：
$(a + c z_x)(y + z z_y) = (b + c z_y)(x + z z_x)$。
展开左边：$a y + a z z_y + c z_x y + c z_x z z_y$；
展开右边：$b x + b z z_x + c z_y x + c z_y z z_x$。
注意到 $c z_x z z_y = c z_y z z_x$，两边抵消。
公式：a y + a z z_y + c y z_x = b x + b z z_x + c x z_y
提示：交叉相乘后仔细展开，避免漏项。
步骤 5/5
目标：移项整理，得到目标方程
将上一步等式中的项移项，含 $z_x$ 的项：$c y z_x - b z z_x = (c y - b z) z_x$；
含 $z_y$ 的项：$a z z_y - c x z_y = (a z - c x) z_y$；
常数项移到右边：$a y - b x$ 变为 $b x - a y$（注意符号）。
于是得到：
$(c y - b z) z_x + (a z - c x) z_y = b x - a y$。
公式：(c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y
提示：移项时注意符号变化，最终右边是 $b x - a y$ 而非 $a y - b x$。
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