广西民族大学 2014年数学分析第0题

令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x\,dx$。分子 $\sin x \cos^3 x\,dx = \sin x (1-\sin^2 x)\cos x\,dx = t(1-t^2)\,dt$，分母变为 $1+t^2$。原积分化为 $\int \frac{t(1-t^2)}{1+t^2}\,dt$。

将 $\frac{t(1-t^2)}{1+t^2} = \frac{t - t^3}{1+t^2}$ 做多项式除法：$\frac{t - t^3}{1+t^2} = -t + \frac{2t}{1+t^2}$。验证：$-t(1+t^2) = -t - t^3$，加上 $2t$ 得 $t - t^3$。

积分得 $\int \left(-t + \frac{2t}{1+t^2}\right) dt = -\frac{t^2}{2} + \ln(1+t^2) + C$。回代 $t = \sin x$，得 $\ln(1+\sin^2 x) - \frac{\sin^2 x}{2} + C$。

注意到 $\frac{x^b - x^a}{\ln x} = \int_a^b x^y\,dy$，因为 $\frac{d}{dy}(x^y) = x^y \ln x$。于是原积分 $\int_0^1 \frac{x^b - x^a}{\ln x}\,dx = \int_0^1 \left(\int_a^b x^y\,dy\right)dx$。交换积分次序（由一致收敛性保证）得 $\int_a^b \left(\int_0^1 x^y\,dx\right)dy$。

内层积分 $\int_0^1 x^y\,dx = \left.\frac{x^{y+1}}{y+1}\right|_0^1 = \frac{1}{y+1}$。于是原积分 $= \int_a^b \frac{1}{y+1}\,dy = \ln(y+1)\big|_a^b = \ln\frac{b+1}{a+1}$。

令 $x = a r \sin\theta \cos\phi$，$y = b r \sin\theta \sin\phi$，$z = c r \cos\theta$，其中 $0\le r\le 1$，$0\le \theta\le \pi$，$0\le \phi\le 2\pi$。雅可比行列式为 $|J| = abc\, r^2 \sin\theta$。被积函数 $x^2+y^2+z^2 = a^2 r^2 \sin^2\theta \cos^2\phi + b^2 r^2 \sin^2\theta \sin^2\phi + c^2 r^2 \cos^2\theta$。

积分 $I = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 [a^2 r^2 \sin^2\theta \cos^2\phi + b^2 r^2 \sin^2\theta \sin^2\phi + c^2 r^2 \cos^2\theta] \cdot abc\, r^2 \sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。先对 $r$ 积分：$\int_0^1 r^4\,dr = \frac{1}{5}$，提出因子 $\frac{abc}{5}$。

分别计算三项： 1. $a^2$ 项：$a^2 \int_0^{2\pi} \cos^2\phi\,d\phi \int_0^{\pi} \sin^3\theta\,d\theta = a^2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi a^2}{3}$。 2. $b^2$ 项：类似得 $\frac{4\pi b^2}{3}$。 3. $c^2$ 项：$c^2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta\,d\theta = c^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi c^2}{3}$。 三项和 $= \frac{4\pi}{3}(a^2+b^2+c^2)$，乘以 $\frac{abc}{5}$ 得 $I = \frac{4\pi abc}{15}(a^2+b^2+c^2)$。