广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分）
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{1-\cos x}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别极限类型并应用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{1-\cos x^2}$ 和分母 $1-\cos x$ 都趋于 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。考虑使用等价无穷小替换：$1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}$（$u \to 0$）。
公式：$1-\cos u \sim \frac{u^2}{2} \quad (u \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换的条件是变量趋于 0，且替换后要确保分子分母的阶数一致。
步骤 2/7
目标：化简分子
令 $u = x^2$，则当 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，于是 $1-\cos(x^2) \sim \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4}{2}$。因此 $\sqrt{1-\cos(x^2)} \sim \sqrt{\frac{x^4}{2}} = \frac{x^2}{\sqrt{2}}$（取正根）。
公式：$\sqrt{1-\cos(x^2)} \sim \frac{x^2}{\sqrt{2}}$
提示：开方时注意符号，由于 $x$ 接近 0 时 $1-\cos(x^2) > 0$，故取正根。
步骤 3/7
目标：化简分母
分母 $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$（$x \to 0$）。
公式：$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$
提示：直接应用等价无穷小公式，无需额外变换。
步骤 4/7
目标：代入并计算极限
将等价无穷小代入原极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{\sqrt{2}}}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{x^2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{\sqrt{2}}}{\frac{x^2}{2}} = \sqrt{2}$
提示：约去 $x^2$ 时注意 $x \neq 0$，但极限过程允许 $x$ 趋近于 0 而不等于 0。
步骤 5/7
目标：将和式转化为黎曼和形式
第二题：$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$。
公式：$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$
提示：提取公因子 $\frac{1}{n}$ 是构造黎曼和的关键步骤，注意分母的变形。
步骤 6/7
目标：识别黎曼和并转化为定积分
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ 是函数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和（取右端点，步长 $\Delta x = \frac{1}{n}$），因此极限等于定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$
提示：注意积分区间为 $[0,1]$，因为 $\frac{k}{n}$ 从 $\frac{1}{n}$ 到 $1$，当 $n \to \infty$ 时覆盖 $[0,1]$。
步骤 7/7
目标：计算定积分
$\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$。
公式：$\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln 2$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，结果简洁。
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