广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ，试讨论二重极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 与累次极限
$\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y) 、 \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 是否存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数形式与极限类型
给定函数 $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$，需要讨论当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时的二重极限以及两个不同顺序的累次极限：$\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x, y)$ 和 $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x, y)$ 是否存在。
公式：f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}
提示：注意区分二重极限与累次极限的概念，累次极限是先后对单个变量取极限，而二重极限要求所有路径趋于同一点。
步骤 2/5
目标：计算第一个累次极限：先对 x 后对 y
固定 $y \neq 0$，先求 $\lim_{x \to 0} f(x, y)$。当 $x \to 0$ 时，分子 $xy \to 0$，分母 $x^2 + y^2 \to y^2 \neq 0$，因此 $\lim_{x \to 0} f(x, y) = \frac{0}{y^2} = 0$。再令 $y \to 0$，得 $\lim_{y \to 0} 0 = 0$。
公式：\lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} \right) = \lim_{y \to 0} 0 = 0
提示：固定 y 时，分母不为零是关键，否则需要单独讨论 y=0 的情况，但此处 y→0 是极限过程，不影响。
步骤 3/5
目标：计算第二个累次极限：先对 y 后对 x
固定 $x \neq 0$，先求 $\lim_{y \to 0} f(x, y)$。当 $y \to 0$ 时，分子 $xy \to 0$，分母 $x^2 + y^2 \to x^2 \neq 0$，因此 $\lim_{y \to 0} f(x, y) = \frac{0}{x^2} = 0$。再令 $x \to 0$，得 $\lim_{x \to 0} 0 = 0$。
公式：\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} \right) = \lim_{x \to 0} 0 = 0
提示：两个累次极限都等于0，但这并不能保证二重极限存在。
步骤 4/5
目标：讨论二重极限：沿直线路径 y = kx
考虑路径 $y = kx$（$k$ 为常数），代入函数得 $f(x, kx) = \frac{x \cdot kx}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k x^2}{(1 + k^2) x^2} = \frac{k}{1 + k^2}$。当 $x \to 0$ 时，该值恒为 $\frac{k}{1 + k^2}$，与 $k$ 有关。例如 $k=1$ 时极限为 $\frac{1}{2}$，$k=0$ 时极限为 $0$。
公式：f(x, kx) = \frac{k}{1 + k^2}
提示：沿不同直线路径得到不同极限值，说明二重极限不存在。这是判断二重极限不存在的常用方法。
步骤 5/5
目标：验证其他路径并得出结论
除了直线路径，还可以考虑沿抛物线 $y = x^2$ 等路径，但已由直线路径得到不同极限值，足以说明二重极限不存在。因此，二重极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$ 不存在。
公式：\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} \text{ 不存在}
提示：二重极限存在要求所有路径极限一致，只要找到两条路径极限不同即可否定存在性。
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