广西民族大学 2018年数学分析第0题

设方程 $f(x)=0$ 的两个相异实根为 $x_1, x_2$，且 $a < x_1 < x_2 < b$，则 $f(x_1)=0$，$f(x_2)=0$。由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内非负，故 $x_1$ 和 $x_2$ 均为 $f(x)$ 的极小值点（函数值达到最小值0）。

因为 $x_1, x_2$ 是开区间 $(a,b)$ 内的极小值点，且 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导（具有三阶导数蕴含一阶可导），由费马定理知 $f'(x_1)=0$，$f'(x_2)=0$。

对 $f'(x)$ 在区间 $[x_1, x_2]$ 上应用罗尔定理：$f'(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续（由二阶可导保证），在 $(x_1,x_2)$ 内可导，且 $f'(x_1)=f'(x_2)=0$，故存在 $\eta \in (x_1, x_2)$ 使得 $f''(\eta)=0$。

若 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上恒为零，则任意阶导数为零，结论显然成立。否则，由于 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 且 $f(x)\ge 0$，$f(x)$ 在 $(x_1,x_2)$ 内某点 $x_0$ 处取到正的最大值（极大值），由费马定理得 $f'(x_0)=0$。注意 $x_0$ 与 $x_1,x_2$ 不同，因为 $f(x_0)>0$。

考虑 $f'(x_1)=0$ 和 $f'(x_0)=0$，其中 $x_1 < x_0$（或 $x_0 < x_2$，类似）。对 $f'(x)$ 在 $[x_1, x_0]$ 上应用罗尔定理，存在 $\zeta \in (x_1, x_0)$ 使得 $f''(\zeta)=0$。由于 $\zeta \in (x_1, x_0) \subset (x_1, x_2)$ 且 $\zeta \neq \eta$（因为 $\eta \in (x_1,x_2)$ 但 $\zeta$ 在 $x_1$ 与极大值点之间，而 $\eta$ 可能位于另一侧，且 $\eta$ 与 $\zeta$ 所在区间不同），故 $\eta$ 与 $\zeta$ 是两个不同的二阶导数为零点。

现在 $f''(x)$ 在 $[\eta, \zeta]$（或 $[\zeta, \eta]$）上连续（由三阶可导保证），在 $(\eta, \zeta)$ 内可导，且 $f''(\eta)=f''(\zeta)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta, \zeta) \subset (a,b)$ 使得 $f'''(\xi)=0$。

若 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上恒为零，则 $f'''(x)=0$ 对任意 $x\in(x_1,x_2)$ 成立，结论显然成立。因此综合所有情况，存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'''(\xi)=0$。