广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的可积函数，且 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则成立 parseval 不等式：
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)
$$
这里 $\displaystyle a_{n} 、 b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出傅里叶级数及其系数表达式
设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$
其中系数由欧拉-傅里叶公式给出：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
由题设，该级数在 $[-\pi, \pi]$ 上一致收敛于 $f(x)$，因此可以逐项积分。
公式：$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$
提示：注意常数项是 $a_0/2$ 而不是 $a_0$，这是为了与正交归一化形式匹配。
步骤 2/4
目标：利用正交性计算平方积分
考虑积分 $\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx$。由于一致收敛，可将 $f(x)$ 的级数展开代入并交换求和与积分次序：
$$\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \right)^2 dx$$
展开后，利用三角函数系的正交性，所有不同频率的交叉项（如 $\cos(mx)\cos(nx)$ 当 $m \neq n$，以及所有 $\cos(mx)\sin(nx)$ 项）积分为零。
公式：正交性：
$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) \, dx = \pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) \, dx = \pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\sin(nx) \, dx = 0$$
提示：注意 $n=0$ 时 $\cos(0x)=1$，其平方积分为 $2\pi$，这是常数项系数不同的原因。
步骤 3/4
目标：逐项计算非零积分
展开后仅保留平方项，分别计算：
1. 常数项平方：$\left(\frac{a_0}{2}\right)^2$ 的积分：
$$\int_{-\pi}^{\pi} \left(\frac{a_0}{2}\right)^2 dx = \frac{a_0^2}{4} \cdot 2\pi = \frac{a_0^2 \pi}{2}$$
2. 余弦平方项：$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \cdot \pi$
3. 正弦平方项：$\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 \cdot \pi$
公式：$$\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2 \pi}{2} + \pi \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
提示：注意 $\cos^2$ 和 $\sin^2$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的积分均为 $\pi$，不要与 $[0,\pi]$ 上的积分混淆。
步骤 4/4
目标：除以 $\pi$ 得到Parseval等式
将上一步结果两边同时除以 $\pi$：
$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
这正是题目要证明的Parseval等式。该等式表明函数在时域的能量（左边）等于其在频域各频率分量能量之和（右边）。
公式：$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) \, dx = \frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$$
提示：一致收敛条件是保证逐项积分合法性的关键，否则等式可能不成立（例如存在吉布斯现象时）。
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