广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{m} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$（ $m$ 为正整数），试问：（1）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$
连续；（2）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导；（3）$m$ 等于何值时，$\displaystyle f^{\prime}$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断连续的条件
要使得 $f$ 在 $x=0$ 连续，需满足 $\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)=0$。当 $x\neq 0$ 时，$|f(x)| = |x^m \sin(1/x)| \le |x|^m$。若 $m\ge 1$，则 $\lim_{x\to 0} |x|^m = 0$，由夹逼定理得极限为 $0$；若 $m=0$，则 $\lim_{x\to 0} \sin(1/x)$ 不存在，故不连续。
公式：\lim_{x\to 0} |x|^m = 0 \quad (m\ge 1)
提示：注意 $\sin(1/x)$ 有界，利用夹逼定理时需确保 $|x|^m$ 趋于 $0$。
步骤 2/5
目标：判断可导的条件
用导数定义：$f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} h^{m-1} \sin(1/h)$。当 $m-1>0$ 即 $m\ge 2$ 时，$|h^{m-1} \sin(1/h)| \le |h|^{m-1} \to 0$，极限为 $0$；当 $m=1$ 时，极限为 $\lim_{h\to 0} \sin(1/h)$ 不存在；当 $m=0$ 时，极限无界。
公式：f'(0) = \lim_{h\to 0} h^{m-1} \sin\frac{1}{h}
提示：注意 $m=1$ 时极限振荡不存在，$m\ge 2$ 时极限为 $0$。
步骤 3/5
目标：求导函数表达式（x≠0）
当 $x\neq 0$ 时，对 $f(x)=x^m \sin(1/x)$ 求导：$f'(x) = m x^{m-1} \sin\frac{1}{x} + x^m \cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = m x^{m-1} \sin\frac{1}{x} - x^{m-2} \cos\frac{1}{x}$。
公式：f'(x) = m x^{m-1} \sin\frac{1}{x} - x^{m-2} \cos\frac{1}{x} \quad (x\neq 0)
提示：注意复合函数求导时 $\cos(1/x)$ 的导数有负号。
步骤 4/5
目标：确定导函数在0点连续的条件
由(2)知，当 $m\ge 2$ 时 $f'(0)=0$。需 $\lim_{x\to 0} f'(x) = f'(0)=0$。分析 $\lim_{x\to 0} [m x^{m-1} \sin(1/x) - x^{m-2} \cos(1/x)]$：第一项当 $m\ge 2$ 时趋于 $0$；第二项 $-x^{m-2} \cos(1/x)$，若 $m-2>0$ 即 $m\ge 3$，则趋于 $0$；若 $m=2$，则第二项为 $-\cos(1/x)$ 振荡无极限。
公式：\lim_{x\to 0} x^{m-2} \cos\frac{1}{x} = 0 \quad (m\ge 3)
提示：关键在第二项，$m=2$ 时 $-\cos(1/x)$ 不趋于 $0$，导致导函数不连续。
步骤 5/5
目标：总结各问答案
（1）连续：$m\ge 1$；（2）可导：$m\ge 2$；（3）导函数连续：$m\ge 3$。
公式：无
提示：注意三个条件依次递进，$m$ 需取正整数。
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