广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立数学模型，明确约束条件和目标函数
设椭圆上任意一点坐标为 $(x, y, z)$，原点到该点的距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。该点满足两个约束条件：
1. 在旋转抛物面上：$z = x^2 + y^2$；
2. 在平面上：$x + y + z = 1$。
问题转化为在以上两个等式约束下求 $d^2$ 的极值。
公式：d^2 = x^2 + y^2 + z^2, \quad z = x^2 + y^2, \quad x + y + z = 1
提示：由于距离与距离平方同时取极值，为简化计算，通常求距离平方的极值。
步骤 2/7
目标：构造拉格朗日函数并求偏导
引入拉格朗日乘数 $\lambda$ 和 $\mu$，构造拉格朗日函数：
$$F(x, y, z, \lambda, \mu) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x^2 + y^2 - z) + \mu (x + y + z - 1)$$
分别对 $x, y, z, \lambda, \mu$ 求偏导并令其为零：
\begin{align}
\frac{\partial F}{\partial x} &= 2x + 2\lambda x + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(1+\lambda) + \mu = 0 \tag{1}\\
\frac{\partial F}{\partial y} &= 2y + 2\lambda y + \mu = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y(1+\lambda) + \mu = 0 \tag{2}\\
\frac{\partial F}{\partial z} &= 2z - \lambda + \mu = 0 \tag{3}\\
\frac{\partial F}{\partial \lambda} &= x^2 + y^2 - z = 0 \tag{4}\\
\frac{\partial F}{\partial \mu} &= x + y + z - 1 = 0 \tag{5}
\end{align}
公式：F = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x^2 + y^2 - z) + \mu (x + y + z - 1)
提示：注意两个约束条件对应两个拉格朗日乘数，不要遗漏。
步骤 3/7
目标：分析方程并分类讨论
由 (1) 和 (2) 相减可得：$2(x-y)(1+\lambda) = 0$。
情况一：$1+\lambda \neq 0$，则 $x = y$。
情况二：$1+\lambda = 0$，即 $\lambda = -1$，此时由 (1) 得 $\mu = 0$，需进一步验证。
公式：2(x-y)(1+\lambda) = 0
提示：分类讨论是解拉格朗日方程组的关键，不要遗漏 $1+\lambda = 0$ 的情况。
步骤 4/7
目标：求解情况一：x = y 时的极值点
代入 $x = y$ 到约束条件 (4) 和 (5)：
由 (4)：$z = 2x^2$；
由 (5)：$2x + z = 1$。
联立得 $2x + 2x^2 = 1$，即 $2x^2 + 2x - 1 = 0$。
解得 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$。
对应两个点：
- 当 $x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$，$y = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$，$z = 2 - \sqrt{3}$；
- 当 $x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$，$y = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$，$z = 2 + \sqrt{3}$。
公式：x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}, \quad z = 2x^2
提示：解二次方程时注意符号，并验证是否满足平面方程。
步骤 5/7
目标：计算两个极值点的距离平方
对于第一点 $(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}, 2 - \sqrt{3})$：
$$d_1^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 2x^2 + z^2 = (2 - \sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 9 - 5\sqrt{3}$$
对于第二点 $(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}, 2 + \sqrt{3})$：
$$d_2^2 = 2x^2 + z^2 = (2 + \sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 9 + 5\sqrt{3}$$
公式：d^2 = 9 \pm 5\sqrt{3}
提示：计算 $x^2$ 和 $z^2$ 时注意完全平方公式的展开，避免符号错误。
步骤 6/7
目标：排除情况二：1+λ = 0 的情形
若 $\lambda = -1$，由 (1) 得 $\mu = 0$，代入 (3) 得 $2z - (-1) = 0$，即 $z = -\frac{1}{2}$。但由抛物面约束 $z = x^2 + y^2 \ge 0$，与 $z = -\frac{1}{2}$ 矛盾，故无解。
公式：z = -\frac{1}{2} \quad \text{与} \quad z \ge 0 \quad \text{矛盾}
提示：注意抛物面 $z = x^2 + y^2$ 隐含 $z \ge 0$，这是排除无效解的重要依据。
步骤 7/7
目标：得出结论
比较两个距离平方：$9 - 5\sqrt{3} < 9 + 5\sqrt{3}$，因此最短距离为 $\sqrt{9 - 5\sqrt{3}}$，最长距离为 $\sqrt{9 + 5\sqrt{3}}$。
公式：d_{\min} = \sqrt{9 - 5\sqrt{3}}, \quad d_{\max} = \sqrt{9 + 5\sqrt{3}}
提示：最终答案需开平方，注意 $9 - 5\sqrt{3} > 0$，确保距离为正。
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