广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）证明：由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=\phi\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 所定的函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程
$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$
其中 $\displaystyle \phi(u)$ 是 $u$ 的可微函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
已知方程 $a x + b y + c z = \phi(x^2 + y^2 + z^2)$，其中 $\phi$ 是可微函数，$a,b,c$ 为常数，该方程确定了隐函数 $z = z(x,y)$。需要证明：$(c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y$。
公式：$a x + b y + c z = \phi(x^2 + y^2 + z^2)$
提示：注意 $\phi$ 的自变量是 $u = x^2 + y^2 + z^2$，求导时要用链式法则。
步骤 2/5
目标：对原方程两边关于 $x$ 求偏导，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的表达式
令 $F(x,y,z) = a x + b y + c z - \phi(x^2 + y^2 + z^2) = 0$。对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$。计算得 $\frac{\partial F}{\partial x} = a - 2x \phi'$，$\frac{\partial F}{\partial z} = c - 2z \phi'$，其中 $\phi' = \phi'(x^2 + y^2 + z^2)$。代入得 $a - 2x \phi' + (c - 2z \phi') \frac{\partial z}{\partial x} = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x \phi' - a}{c - 2z \phi'}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x \phi' - a}{c - 2z \phi'}$
提示：注意 $\phi'$ 是 $\phi$ 对整体自变量 $u = x^2 + y^2 + z^2$ 的导数，求偏导时 $z$ 视为 $x,y$ 的函数。
步骤 3/5
目标：对原方程两边关于 $y$ 求偏导，得到 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式
对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$。计算得 $\frac{\partial F}{\partial y} = b - 2y \phi'$，$\frac{\partial F}{\partial z} = c - 2z \phi'$。代入得 $b - 2y \phi' + (c - 2z \phi') \frac{\partial z}{\partial y} = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y \phi' - b}{c - 2z \phi'}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y \phi' - b}{c - 2z \phi'}$
提示：与对 $x$ 求导类似，注意对称性。
步骤 4/5
目标：将两个偏导表达式代入待证等式的左边，并通分化简
左边 $L = (c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y}$。代入得 $L = \frac{(c y - b z)(2x \phi' - a) + (a z - c x)(2y \phi' - b)}{c - 2z \phi'}$。展开分子：第一项 $(c y - b z)(2x \phi' - a) = 2x c y \phi' - a c y - 2x b z \phi' + a b z$；第二项 $(a z - c x)(2y \phi' - b) = 2y a z \phi' - a b z - 2y c x \phi' + b c x$。相加后 $a b z$ 与 $-a b z$ 抵消，$2x c y \phi'$ 与 $-2y c x \phi'$ 抵消，得分子 $= -a c y - 2x b z \phi' + 2y a z \phi' + b c x$。
公式：$L = \frac{b c x - a c y + 2z \phi'(a y - b x)}{c - 2z \phi'}$
提示：展开时注意符号，合并同类项时要仔细。
步骤 5/5
目标：将化简后的分子与待证等式的右边比较，完成证明
待证等式右边 $R = b x - a y$。将 $L$ 的分子与 $R \cdot (c - 2z \phi')$ 比较：$R \cdot (c - 2z \phi') = (b x - a y)(c - 2z \phi') = b c x - 2b x z \phi' - a c y + 2a y z \phi'$。这正是我们化简得到的分子 $b c x - a c y + 2z \phi'(a y - b x)$。因此 $L = R$，原方程成立。
公式：$(c y - b z) \frac{\partial z}{\partial x} + (a z - c x) \frac{\partial z}{\partial y} = b x - a y$
提示：注意 $2z \phi'(a y - b x) = -2b x z \phi' + 2a y z \phi'$，与右边展开式一致。
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