广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分）
（1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）；
（3）$\displaystyle I=\iint_{D} \sin x^{2} \cos y^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：第一题：换元化简被积函数
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x \, dx$，且 $\cos^3 x = (1 - \sin^2 x)\cos x = (1 - t^2)\cos x$。原积分化为 $\int \frac{t(1 - t^2)}{1 + t^2} \, dt$。
公式：$\int \frac{\sin x \cos^3 x}{1+\sin^2 x} dx = \int \frac{t(1-t^2)}{1+t^2} dt$
提示：注意 $\cos^3 x$ 的分解要保留一个 $\cos x$ 与 $dx$ 凑微分。
步骤 2/10
目标：第一题：多项式除法化简
将 $\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}$ 变形：$\frac{t - t^3}{1+t^2} = \frac{t(1+t^2) - 2t}{1+t^2} = t - \frac{2t}{1+t^2}$。
公式：$\frac{t(1-t^2)}{1+t^2} = t - \frac{2t}{1+t^2}$
提示：分子凑出分母形式是常用技巧。
步骤 3/10
目标：第一题：积分并回代
积分得 $\int t \, dt - \int \frac{2t}{1+t^2} \, dt = \frac{t^2}{2} - \ln(1+t^2) + C$。回代 $t = \sin x$，得 $\frac{\sin^2 x}{2} - \ln(1+\sin^2 x) + C$。
公式：$\frac{\sin^2 x}{2} - \ln(1+\sin^2 x) + C$
提示：注意 $\ln(1+t^2)$ 不加绝对值，因为 $1+t^2 > 0$。
步骤 4/10
目标：第二题：确定取整函数的分段点
在 $[0,4]$ 上，$e^x$ 从 $1$ 增至 $e^4 \approx 54.6$。当 $e^x = k$ 时 $x = \ln k$，$k=1,2,\ldots,54$。分段区间为 $[\ln k, \ln(k+1))$ 上 $[e^x] = k$，最后一段 $[\ln 54, 4]$ 上 $[e^x] = 54$。
公式：$[e^x] = k$ 当 $x \in [\ln k, \ln(k+1))$
提示：注意 $e^0=1$，所以 $[0,\ln2)$ 上取整为 $1$。
步骤 5/10
目标：第二题：分段积分并求和
积分 $\int_0^4 [e^x] dx = \sum_{k=1}^{53} k(\ln(k+1)-\ln k) + 54(4-\ln 54)$。第一部分求和：$\sum_{k=1}^{53} k \ln\frac{k+1}{k} = 53\ln54 - \ln(53!)$。整体为 $53\ln54 - \ln(53!) + 216 - 54\ln54 = 216 - \ln(54!)$。
公式：$\int_0^4 [e^x] dx = 216 - \ln(54!)$
提示：求和时注意错位相消，最后合并 $54\cdot53! = 54!$。
步骤 6/10
目标：第三题：极坐标变换
令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $dxdy = r\, dr\, d\theta$，$x^2+y^2 \le 1$ 对应 $0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi$。被积函数变为 $\sin(r^2\cos^2\theta)\cos(r^2\sin^2\theta)$。
公式：$I = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \sin(r^2\cos^2\theta)\cos(r^2\sin^2\theta)\, r\, dr\, d\theta$
提示：极坐标下注意面积元是 $r\, dr\, d\theta$。
步骤 7/10
目标：第三题：利用三角恒等式化简
由 $\sin A \cos B = \frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$，令 $A=r^2\cos^2\theta, B=r^2\sin^2\theta$，则 $A+B=r^2$，$A-B=r^2\cos2\theta$。积分化为 $I = \frac12\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sin(r^2)\, r\, dr\, d\theta + \frac12\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sin(r^2\cos2\theta)\, r\, dr\, d\theta$。
公式：$\sin(r^2\cos^2\theta)\cos(r^2\sin^2\theta) = \frac12[\sin(r^2)+\sin(r^2\cos2\theta)]$
提示：注意 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ 和 $\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta$。
步骤 8/10
目标：第三题：计算第一部分积分
第一部分与 $\theta$ 无关：$\frac12 \cdot 2\pi \int_0^1 r\sin(r^2)\, dr$。令 $u=r^2$，$du=2r\, dr$，则 $\int_0^1 r\sin(r^2)\, dr = \frac12\int_0^1 \sin u\, du = \frac12(1-\cos1)$。第一部分结果为 $\frac{\pi}{2}(1-\cos1)$。
公式：$\frac12\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sin(r^2)\, r\, dr\, d\theta = \frac{\pi}{2}(1-\cos1)$
提示：换元时注意积分限变化。
步骤 9/10
目标：第三题：分析第二部分并利用对称性
第二部分为 $\frac12\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\sin(r^2\cos2\theta)\, dr\, d\theta$。注意 $\cos2\theta$ 在 $[0,2\pi]$ 上关于 $\theta$ 的对称性：当 $\theta$ 换为 $\theta+\pi$ 时 $\cos2\theta$ 不变，但 $\sin$ 函数关于 $\theta$ 的奇偶性导致积分在 $[0,\pi]$ 和 $[\pi,2\pi]$ 上互为相反数（因为 $\cos2(\theta+\pi/2) = -\cos2\theta$ 等），故第二部分积分为 $0$。
公式：$\frac12\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\sin(r^2\cos2\theta)\, dr\, d\theta = 0$
提示：严格证明可考虑 $\theta \to \theta+\pi/2$ 的变换，被积函数变号而积分区间不变。
步骤 10/10
目标：第三题：得出最终结果
综合两部分，$I = \frac{\pi}{2}(1-\cos1) + 0 = \frac{\pi}{2}(1-\cos1)$。
公式：$\iint_D \sin(x^2)\cos(y^2)\, dx\, dy = \frac{\pi}{2}(1-\cos1)$
提示：最终结果简洁，注意 $\cos1$ 中的 $1$ 是弧度。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。