广西民族大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0,2 x-3 y+5 z-4=0$ 在点（1，1，1）处的切线方程和法平面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证给定点是否在曲线上
将点 $(1,1,1)$ 代入两个方程：
第一个方程：$1^2+1^2+1^2-3\cdot1=0$，成立；
第二个方程：$2\cdot1-3\cdot1+5\cdot1-4=0$，成立。
因此点 $(1,1,1)$ 在曲线上。
提示：代入验证是解题的第一步，确保点满足方程，否则后续计算无意义。
步骤 2/6
目标：求第一个曲面的法向量
令 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3x$，则梯度为 $\nabla F=(2x-3,\;2y,\;2z)$。
在点 $(1,1,1)$ 处：$\nabla F(1,1,1)=(-1,\;2,\;2)$。
公式：$\nabla F=(2x-3,\;2y,\;2z)$
提示：注意对 $x$ 求偏导时 $-3x$ 的导数为 $-3$，不要遗漏常数项。
步骤 3/6
目标：求第二个曲面的法向量
令 $G(x,y,z)=2x-3y+5z-4$，则梯度为 $\nabla G=(2,\;-3,\;5)$，这是一个常向量。
公式：$\nabla G=(2,\;-3,\;5)$
提示：平面方程的法向量就是其系数向量，可直接写出。
步骤 4/6
目标：计算切向量（两法向量的叉积）
曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 垂直于两个法向量，取叉积：
$$\mathbf{T}=\nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}$$
计算各分量：
第一分量：$2\cdot5 - 2\cdot(-3)=10+6=16$；
第二分量：$-[(-1)\cdot5 - 2\cdot2]=-[-5-4]=9$；
第三分量：$(-1)\cdot(-3)-2\cdot2=3-4=-1$。
因此 $\mathbf{T}=(16,\;9,\;-1)$。
公式：$\mathbf{T}=\nabla F \times \nabla G$
提示：叉积计算时注意第二分量要取负号，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：写出切线方程
切线过点 $(1,1,1)$，方向向量为 $(16,9,-1)$，对称式方程为：
$$\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}$$
公式：$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$
提示：分母为方向向量的分量，若分量为0需特殊处理，此处均非零。
步骤 6/6
目标：写出法平面方程
法平面过点 $(1,1,1)$，法向量为切向量 $(16,9,-1)$，方程为：
$$16(x-1)+9(y-1)+(-1)(z-1)=0$$
化简得：$16x-16+9y-9-z+1=0$，即 $16x+9y-z-24=0$。
公式：$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
提示：法平面的法向量就是切向量，注意常数项合并时符号。
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