广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：通分合并表达式
将原极限中的两个分式通分，得到：
\[
\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}
\]
公式：\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}
提示：注意通分时不要遗漏负号，分母为x sin x。
步骤 2/6
目标：判断极限类型
当 \(x \to 0\) 时，分子 \(x - \sin x \to 0\)，分母 \(x \sin x \to 0\)，因此极限为 \(\frac{0}{0}\) 型未定式，可使用洛必达法则或泰勒展开。
公式：\lim_{x \to 0} (x - \sin x) = 0, \quad \lim_{x \to 0} (x \sin x) = 0
提示：确认是0/0型后，才能使用洛必达法则或泰勒展开。
步骤 3/6
目标：使用泰勒展开展开分子和分母
利用 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 处的泰勒展开：
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
\]
代入分子和分母：
\[
x - \sin x = \frac{x^3}{6} + O(x^5)
\]
\[
x \sin x = x\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)
\]
公式：\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：泰勒展开时注意保留到足够高阶的项，分子需要到x^3项，分母到x^2项。
步骤 4/6
目标：代入并化简极限表达式
将展开结果代入极限：
\[
\frac{x - \sin x}{x \sin x} = \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)}
\]
分子分母同除以 \(x^2\)：
\[
= \frac{\frac{x}{6} + O(x^3)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)}
\]
公式：\frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)} = \frac{\frac{x}{6} + O(x^3)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)}
提示：除以x^2时注意分子分母每一项都要除以x^2，并注意O符号的阶数变化。
步骤 5/6
目标：求极限得出结果
当 \(x \to 0\) 时，分子 \(\frac{x}{6} + O(x^3) \to 0\)，分母 \(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4) \to 1\)，因此极限为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{6} + O(x^3)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = \frac{0}{1} = 0
\]
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = 0
提示：注意O(x^3)和O(x^4)在x→0时都趋于0，不影响极限值。
步骤 6/6
目标：用洛必达法则验证结果
对 \(\frac{x - \sin x}{x \sin x}\) 使用洛必达法则：
分子导数：\(1 - \cos x\)
分母导数：\(\sin x + x \cos x\)
当 \(x \to 0\) 时，\(1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}\)，\(\sin x + x \cos x \sim x + x = 2x\)，因此比值 \(\sim \frac{x^2/2}{2x} = \frac{x}{4} \to 0\)，结果一致。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} = 0
提示：使用洛必达法则前要确认分子分母可导且仍为0/0型，注意求导正确。
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