广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出和式的通项并确定项数
和式共有 $n$ 项，第 $k$ 项为 $\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$，其中 $k = 1, 2, \dots, n$。
公式：\frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}, \quad k=1,2,\dots,n
提示：注意项数随 $n$ 变化，不要误以为是固定项数。
步骤 2/5
目标：利用单调性进行放缩
由于分母 $\sqrt{n^2 + k}$ 随 $k$ 增大而增大，因此分数值随 $k$ 增大而减小。所以对每个 $k$ 有：
\[ \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} \]
将 $n$ 个不等式相加得到：
\[ n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \le S_n \le n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} \]
公式：\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \le S_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}
提示：放缩时注意方向：分母越大，分数越小；左边取下界，右边取上界。
步骤 3/5
目标：计算左边极限
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1 \]
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = 1
提示：提取 $n$ 时注意 $\sqrt{n^2+n} = n\sqrt{1+1/n}$，不要漏掉根号内的 $n$。
步骤 4/5
目标：计算右边极限
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1 \]
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = 1
提示：此处 $1/n^2$ 趋于 0 更快，但结果仍是 1。
步骤 5/5
目标：应用夹逼准则得出结论
由于左右两边极限均为 1，由夹逼准则（迫敛性）可知：
\[ \lim_{n\to\infty} S_n = 1 \]
公式：\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right) = 1
提示：夹逼准则要求两边极限相等，且中间序列被夹住，才能确定极限值。
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