广西民族大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但在此点不可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数在(0,0)处连续
由连续定义，需验证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。考虑 $\left| \frac{x^2 y}{x^2+y^2} \right| = |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le |y|$，因为 $\frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$。当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $|y|\to 0$，由夹逼定理得极限为0，故连续。
公式：\left| \frac{x^2 y}{x^2+y^2} \right| \le |y|
提示：注意利用 $\frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$ 进行放缩，这是处理此类极限的常用技巧。
步骤 2/4
目标：证明偏导数存在
按定义求偏导：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。由于 $f(h,0)=0$，故 $f_x(0,0)=0$。同理 $f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0$。因此两个偏导数在原点存在且均为0。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：计算偏导时需代入定义，注意函数在坐标轴上的值为0。
步骤 3/4
目标：证明在原点不可微
可微要求 $\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x^2 y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \to 0$ 当 $(x,y)\to(0,0)$。取路径 $y=x$，则 $\frac{x^2\cdot x}{(x^2+x^2)^{3/2}} = \frac{x^3}{2^{3/2}|x|^3}$，当 $x>0$ 时值为 $\frac{1}{2^{3/2}} \neq 0$，故极限不为0，不满足可微条件。
公式：\frac{x^2 y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \text{ 沿 } y=x \text{ 趋于 } \frac{1}{2^{3/2}}
提示：证明不可微常用反例：选取特殊路径使极限不为0，注意路径需通过原点且使分母不为0。
步骤 4/4
目标：总结结论
函数在 $(0,0)$ 处连续且偏导数存在（均为0），但由于沿路径 $y=x$ 时差商极限不为0，不满足可微定义，故不可微。
提示：偏导数存在是可微的必要非充分条件，需额外验证全微分定义。
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